Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Der Koch hat das Rezept zur Lösung des Integrals$$I=\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\;?$$ja bereits vorgegeben. Wir substituieren daher:$$\pink{x(u)=\tan u}=\frac{\sin u}{\cos u}$$und bestimmen die Ableitung \(\frac{dx}{du}\) mit Hilfe der Quotientenregel:$$\green{\frac{dx}{du}}=\frac{\cos u\cos u-\sin u(-\sin u)}{\cos^2u}=\frac{\cos^2u+\sin^2u}{\cos^2u}=\frac{\cos^2u}{\cos^2u}+\frac{\sin^2u}{\cos^2u}=\green{1+\tan^2u}$$
Das bedeutet für das Integral:$$I=\int\frac{1}{1+\pink x^2\pink{(u)}}\,\green{\frac{dx}{du}}\,du=\int\frac{1}{1+\pink{\tan}^2\pink u}\,\green{(1+\tan^2u)}\,du=\int du=u+C$$
Mit \(\pink{x(u)=\tan u}\) bzw. \(u=\arctan(x)\) können wir "zurück" substituieren und erhalten:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C$$
