Grenzwert komplexer Folge w_(n):= (1+i)^n / n! bestimmen

Question

Ich sollen den Grenzwert der Folge w_(n):= (1+i)^n / n! bestimmen, aber ich weiß leider nicht, wie ich sie in Real- und Imaginärteil umformen kann. Kann mir jemand sagen, wie ich anfangen soll?

Danke

Answer 1

eine Aufspaltung in Real und Imaginärteil ist hier nicht notwendig.

Betrachte den Betrag der Folgenglieder: $$ |{ w }_{ n }|=\frac { \sqrt { 2 }^n }{ n! } $$

im Grenzwert n→∞

Answer 2

Es gibt noch 2 andere Lösungswege:

Weg 2: Reihe dieser Funktion

1/(n!) + (i n)/(n!) + (i^2 (n - 1) n)/(2 n!) + (i^3 (n - 2) (n - 1) n)/(6 n!) +...
Und jede Fakultät wächst schneller als Polynome

Weg 3: für n! kann man die https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel
nutzen. Da reicht schon (n/e)^n um zu sehen, dass das schneller wächst als jede Konstante hoch n.