Die Funktionsschar ist \(f_a(x)=(ax+1)\cdot e^{-ax}, \space a>0\).
a) die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen findet man für \(y_0=f_a(0)\) und \(0=f_a(x_0)\). Der erste Fall ist einfach:
$$y_0=f_a(0)=(a \cdot 0+1)\cdot e^{0}=1$$
... und der zweite Fall, zur Bestimmung von \(x_0\)
$$0=f_a(x_0)=(ax_0+1)\cdot e^{-ax_0}$$
der Ausdruck kann nur genau dann zu 0 werden, wenn \(ax_0+1=0\) ist, da \(e^{-ax}\) für kein \(x\) zu 0 wird. Also ist
$$x_0=\frac{-1}{a}$$
b) Für die Extrem- und Wendepunkte die Funktion ableiten. Hier hilft die Produktregel:
$$f'_a(x)=a \cdot e^{-ax} - a(ax+1) \cdot e^{-ax}=-a^2x\cdot e^{-ax}$$
$$f''_a(x)=-a^2\left( e^{-ax} - ax \cdot e^{-ax}\right)=a^2\cdot e^{-ax}(ax-1)$$
Setzt man \(f'_a(x_E)=0\), folgt \(x_E=0\). Und da \(f''_a(x_E)<0\), handelt es sich um ein Maximum. Setzt man \(f''_a(x_W)=0\), so erhält man für den Wendepunkt \(x_W=1/a\).
c) Die Tangente im Wendepunkt ist
$$t_a(x)=(x-x_W)\cdot f'_a(x_W) + f_a(x_W)\\ \space=(x-\frac{1}{a})\cdot-a^2\frac{1}{a}\cdot e^{-a\frac{1}{a}} +(a\frac{1}{a}+1)\cdot e^{-a\frac{1}{a}}$$
$$\space = (x-\frac{1}{a})\cdot -\frac{a}{e} + \frac{2}{e}= -\frac{a}{e}x+\frac{3}{e} $$
und der Wert für \(t_a(0)=\frac{3}{e} \) und demnach unabhängig von \(a\).
d) Wenn man \(F_a(x)=\left( -x-\frac{2}{a}\right) e^{-ax}\) ableitet, so erhält man:
$$\frac{d}{dx}F_a(x)=- e^{-ax} -a \left( -x-\frac{2}{a}\right) e^{-ax}=e^{-ax} + axe^{-ax}=(1+ax)e^{-ax}=f_a(x)$$
also ist \(F_a\) eine Stammfunktion von \(f_a\).
e) Die Ursprungsgerade durch den Hochpunkt ist die Y-Achse und die durch den Wendepunkt ist
$$y=\frac{f_a(x_W)}{x_W}x=\frac{2a}{e}x$$
Skizziere Dir das am besten mal, dann sieht man auch, dass
$$A=\int_0^{x_W} f_a(x) \space dx - \int_0^{x_W} \frac{2a}{e}x\space dx $$
Der zweite Teil ist ein Dreieck, welches vom Integral der Funktion abgeschnitten wird. Es ist
$$\space =\left[ F_a(x) \right]_0^{\frac{1}{a}} - \frac{2a}{e} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}\right)^2$$
$$\space = F_a(\frac{1}{a}) - F_a(0) - \frac{1}{ea}=\frac{-3}{ae} + \frac{2}{a} - \frac{1}{ea}$$
$$\space = \frac{2}{a}\left( 1 - \frac{2}{e}\right)$$
Gruß Werner
