Den Wert einer Reihe berechnen. ∑_(n=2)^{ ∞} 2/(n^2 - 1)

Question

 

ich will den Wert der Reihe

$$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{2}{{n}^{2}-1}}$$ berechnen. Wie mach ich das an diesem beispiel

Answer 1

Mache eine Partialbruchzerlegung

2 / (n² -1 ) =   1/(n-1) - 1/(n+1) und bilde damit die Summe

erst mal nur bis n=k

∑ n=2 bis ∞ über (   1/(n-1) - 1/(n+1)  )

=  ( 1/1 - 1/3 )  +  ( 1/2 - 1/4 ) + ( 1/3 - 1/5 ) + ( 1/4 - 1/6 ) +  ( 1/5 - 1/7 ) ....  

Die gleichfarbigen heben sich weg und es bleibt  nur

( -1/6 und -1/7 fallen später ja auch weg . )

1/1 + 1/2 =  3/2

Sowas nennen manche Leute auch Teleskopsumme.