Wie kann man am Einheitskreis beweisen, dass die Ableitungsfunktion von Sinus Cosinus ist?

Question

Kann mir mal jemand erklären wie man am Einheitskreis beweisen kann das die Ableitungsfunktion von sin .... cos ist .

 

Klar man betrachtet die Steigung zwischen 2 Punkten (Sekante)  mit    
m_s =   ( sin(a+h) -  sin(a) )    /         h

 

und jetz ist h  irgendwie  1     ........ versteh ich net und   
sin(a+h) -  sin(a)  soll       plötzlich    cos(a + 0.5h ) sein

 

Danke für eure Hilfe

Comments

Wenn's nicht unbedingt mit dem Einheitskreis sein soll. Vgl: https://www.mathelounge.de/37086/weshalb-ist-die-ableitung-von-sinus-gleich-kosinus

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Da ich mich nicht mit fremden Federn schmücken will nur der Link:

Differentiation der Sinusfunktion

Allerdings ohne h-Methode, wie bei Dir angefangen. Dafür kürzer ^^.

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Das kann übrigens gar nicht sein?!

 

sin(a+h) -  sin(a)  soll       plötzlich    cos(a + 0.5h ) sein

Sei a=0° und gehe h->0,

dann sin(a)-sin(a) = 0

und cos(a) -> cos(0°) = 1

 

;)

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Klar man betrachtet die Steigung zwischen 2 Punkten (Sekante)  mit    

m_s =   ( sin(a+h) -  sin(a)   )      /         h

Das ist aber die Steigung einer Sekante des Funktionsgraphen und nicht am Einheitskreis.

Der Link, den Unknown angegeben hat, sollte eigentlich deine Frage beantworten.

Answer 1

ja. Du zeichnest einen Pfeil (Vektor) t, der tangential, also senkrecht zum Radius-Vektor, steht und die Länge eins hat (der Radius hat auch die Länge eins). Nun kannst du geometrisch argumentieren, dass die Koordinaten dieses Pfeiles/Vektors so und so sind. Nicht zufällig entspricht dein Ergebnis dann den Ableitungen der Koordinaten des Radius.

r = (sin(x), cos(x)) ---> t = (cos(x), -sin(x)).

Achte darauf, dass der mathematisch positive Drehsinn entgegen dem Uhrzeigersinn geht. Dein Pfeil muss dann in diese mathematisch positive Richtung zeigen.

MfG

Mister