Matrix A potenzieren. Was ist A^2017?

Question

Ich brauche Hilfe. Ich weiß nicht was ich machen soll. Es geht um diese Aufgabe:

Comments

A^{2017} = (A^2)^{1008} * A

potenziere also A^2 noch ein paar mal mit sich selbst (was passiert?) und bestimme ausserdem noch A.

A = - A^2 - E

Answer 1

Hi,
Beh. es gilt \( A^{3n} = E \) für \( n \in \mathbb{N} \)

(1) Induktionsanfang \( n = 1 \) Es gilt $$ 0 = A^3 + A^2 + A = A^3 - A - E + A = A^3 - E \text{ also }  A^3 = E $$

(2) Induktionsbehauptung \( A^{3n} = E \)

(3) Induktionschluss \( A^{3(n+1)} = A^{3n} A^3 = E  \)

Also gilt \( A^{3n} = E \)

Damit folgt \( A^{3n+1} = A^{3n} A = A \) und \( A^{3n+2} = A^{3n} A^2 = A^2 \)

Da \( 2017 = 3 \cdot 672 + 1 \) ist, folgt \( A ^{2017} = A \)