Hi,
wenn \( PW = WP \) gilt, gilt auch \( X^2 + PX + Q = 0 \) wegen
$$ \left( -\frac{1}{2}P + W \right)^2 +P \left( -\frac{1}{2}P + W \right) + Q = \\ \frac{1}{4}P^2 -\frac{1}{2}PW -\frac{1}{2}WP +\frac{1}{4}P^2 - Q -\frac{1}{2}P^2 +PW + Q = \frac{1}{2} \left( PW - WP \right) $$
Wählt man \( P = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \) und \( Q = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) dann folgt
$$ W^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ also $$ W = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{2} }{2}+1 & \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 \\ \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 & \frac{ \sqrt{2} }{2}+1 \end{pmatrix} $$
und damit ergibt sich \( X \) zu
$$ X = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 & \frac{ \sqrt{2} }{2}-3 \\ \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 & \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 \end{pmatrix} $$
Aber $$ X^2 + PX + Q = \begin{pmatrix} \sqrt{2}-2 & 0 \\ 0 & 2-\sqrt{2} \end{pmatrix} $$ also \( \ne 0 \)
