Seien A, B und C beliebige endliche Mengen. Beweisen Sie folgendes...

Question

Beweisen Sie, dass

/A∪B∪C/ = /A/+/B/+/C/ - /A∩B/ - /A∩C/ - /B∩C/ + /A∩B∩C/

gilt. (Hinweis: Sie können die Gleichung /P∪Q/ = /P/ + /Q/ - /P∩Q/ verwenden).

Comments

P = A und Q = B ∪ C setzen + Hinweis folgen.

Answer 1

/P∪Q/ = /P/ + /Q/ - /P∩Q/ gibt  mit


P = A und Q = B ∪ C

/A∪B∪C/ = /A/ + /B∪C/ - /A∩(B ∪ C)/

=/A/ + /B/ + /C/ -/B∩C/   - /A∩(B ∪ C)/


=/A/ + /B/ + /C/ -/ B∩C/   - /(A∩B) ∪ (A∩C)/

jetzt hinten mit P =A∩B und Q = A∩C weiter

=/A/ + /B/ + /C/ -/ B∩C/  

 - (  /A∩B/ +/A∩C/ / -  / (A∩B) ∩(A∩C) /)


=/A/ + /B/ + /C/ -/ B∩C/

 -  /A∩B/   -  /A∩C/ /   +  / (A∩B) ∩(A∩C) /


=/A/ + /B/ + /C/ -/ B∩C/

 -  /A∩B/   -  /A∩C/ /   +  / A∩B∩C /

q.e.d.