Allgemeine Frage zu Sinus

Question

lim x→0       sin(x) / x = 1


wieso ist das so ?


Danke für eure Hilfe

Answer 1

Hi,

kennst Du schon l'Hospital? ;)

D.h. wenn Du einen Ausdruck in der Form "0/0" vorliegen hast, kannst Du ihn Termweise ableiten.

lim sin(x)/x -> lim cos(x)/1 = lim cos(x)

 

Und nun: cos(x) mit x->0 ist 1

Deswegen  lim_x->1 sin(x)/x = 1

 

Grüße

Comments

Ah Lu und Co. haben das auch mal Schulfreundlicher gelöst ;).


https://www.mathelounge.de/14356/warum-ist-lim-x-0-sin-x-x-1

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Bei gebrochen rationalen funktionen genau ................ also nochmal .......

lim sin(x)/x -> lim cos(x)/1          kann man nur einzeln ableiten  da er für x=0      f(x) = 0  hat......... Quotientenregel verfällt sozusagen ?

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Hmm,

l'Hospital ist eigentlich eher Unistoff. Anhand Deines Anhangs "95" halte ich das also für etwas zu weit.

Aber ja, die "Quotientenregel" verfällt. Sie kommt gar nicht zum Zuge.


Meine Antwort ist zwar korrekt und wahrscheinlich der einfachste Beweis. Vergiss es aber besser mal und halte Dich an die Antwort von Lu. Die ist Schulgerecht :).

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Nein das war schon die bessere Antwort .......... muss ja bald auf die Uni, dann muss ich mich so langsam dran gewöhnen :)

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Wenn Du Interesse hast:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital


Wiki ist zumindest im ersten Unterpunkt "Anwendung" sehr verständlich. Um mal einen Überblick zu bekommen.

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in meinem buch steht noch dazu .......... dass neben f(a) ∩ g(a)  = 0    auch    g´(a) ≠ 0 gelten muss davon lese ich hier aber nix .... wieso ?

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Das steht auch in Wiki.

Im zweiten Abschnitt. Du musst ja bedenken, dass man nicht durch 0 teilen darf. Wenn man nun eine konstante ableitet, wird das zu 0. Das führt zu Problemen. Deswegen wird das gleich ausgeschlossen.

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Stimmt ....... :)

Answer 2

Du hast also 

sin(x) / x

Ich forme das mal um und ergänze den Zähler und Nenner

(sin(0+x) - sin(0)) / (0 + x - 0)

Vielleicht siehst du jetzt den Differenzialquotienten. 

Wenn x gegen 0 geht geht der Wert allerdings gegen cos(x) (Ableitung von sin(x)) und das ist 1.