Wie bestimme ich die allgemeine Nullstellen einer Sinus Funktion?

Question

Ich habe grade gemerkt ich könnte trigonometrische Gleichungen wiederholen. Ich weiß wie man Nullstellen trigonometrischer Funktionen berechnet, allerdings habe ich gesehen das es schneller geht.

2*sin(1/2*(x+pi)) = 0

Laut meinen Aufzeichnungen liegen die Nullstellen allgemein bei x = 2k*pi-pi also (2k-1)*pi, aber ich habe vergessen wie man darauf kommt.

Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?

Danke

Answer 1

Merke: Jede Gleichung die die Unbekannte nur an einer Stelle enthält, kannst du direkt zur Unbekannten auflösen.

Das ist der Satz vom Mathecoach vom direkten Auflösen :)

2·SIN(1/2·(x + pi)) = 0

SIN(1/2·(x + pi)) = 0

1/2·(x + pi) = k·pi

x + pi = 2·k·pi

x = 2·k·pi - pi

x = (2·k - 1)·pi mit k ∈ ℕ

Comments

Danke, allerdings wollte ich es gerne nicht rechnerisch wissen, sondern so das ich es mithilfe eines Graphen verstehe.

z.b wenn ich sin(2x) = 0 habe, warum gilt dann für die Nullstellen x = 1/2k*pi? Also jetzt zum Verständnis und nicht rechnerisch. Danke:)

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Kannst du die Funktion zeichnen ?

f(x) = 2·SIN(1/2·(x + pi))

Wie muss man die Funktion g(x) = sin(x) geometrisch verändern um die Funktion f(x) zu bekommen?

Steckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung. (Ist für Nullstellen unwichtig)

Steckung mit dem Faktor 2 in x-Richtung. Ok also Nullstellen nicht mehr bei k·pi sondern eben gestreckt bei 2·k·pi.

Um pi in Richtung negativer x-Achse verschoben. Ok also Nullstellen bei 2·k·pi - pi.

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Vielen Dank:) Was mache ich wenn ich die Schnittpunkte einer parallelen Gerade zur x - Achse mit der trigonometrischen Funktion bestimmen muss? Also z.b sin(2x) = 1/2 geht es auch ohne zu rechnen und Substitution?

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Das sin(30°) = 1/2 gilt mussten wir in der Schule und Studium auswendig wissen. Alle weiteren Nullstellen lassen sich daraus ableiten.

Durch den Stauchfaktor 2 brauchst du dann immer nur die hälfte der Winkel nehmen. Also der Grundwinkel 15°.

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Danke:). Eine Frage: Wo liegen die allgemeine Nullstellen, wenn die Funktion zusätzlich noch in y - Richtung verschoben wurde, also wenn auch die Phasenverschiebung mitspielt?

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Die Phasenverschiebung ist die Verschiebung in x Richtung. Dann addierst du doch einfach nur zu den Nullstellen die Phasenverschiebung dazu.

Allgemein Rechnerisch

a·SIN(b·x + c) + d = 0

a·SIN(b·x + c) = -d

SIN(b·x + c) = -d/a

b·x + c = ±SIN^{-1}(-d/a)

b·x = -c ± SIN^{-1}(-d/a)

x = (-c ± SIN^{-1}(-d/a))/b

Answer 2

2*sin(1/2*(x+pi)) = 0 |:2

sin(1/2*(x+pi)) = 0

1/2*(x+pi)) = k*π  |*2;k∈Z

x+π =2  k*π  |-π

x =2  k*π -π

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Danke, aber wie kommt man drauf ohne Rechnung:)?