Sinus Funktion Nullstellen zeigen

Question

Aufgabe:

In der Aufgabe soll man die reelle Nullstelölenmengen der Sinus-Funktion bestimmen und dann beweisen, dass es keine weiteren Nullstellen als die man angegeben hat existieren. Als Hinweis hat man, dass sin(-x) = -sin(x) ist, die Sinusfunktion eine kleinste Nullstelle von π > 0 besitzt und sin(π/2) > 0.

Ansatz:

$$\text{Mir ist klar, dass für } sin(x) = 0 x \in \{ k \pi, k \in \mathbb{Z} \} \text{ gilt, aber das eiunfach so hinzuschreiben wird wohl kaum}$$$$\text{aussreichen, zudem muss man ja noch zeigen, dass es keine weiteren Nullstellen gibt.}$$

Comments

zeigen, dass es keine weiteren Nullstellen gibt

geht am schnellsten mit einem Widerspruchsbeweis.

Answer 1

\(sin(x) = 0 x \in \{ k \pi, k \in \mathbb{Z} \}\)

Damit sind die Nullstellen bestimmt.

Der Beweis, dass es keine weiteren Nullstellen gibt, richtet sich danach, wie die Sinusfunktion definiert wurde. Da gibt es mehere Möglichkeiten, zum Beispiel über Potenzreihen, Exponentialfunktion oder Einheitskreis.

Im einfachsten Fall (Einheitskreis) liegen alle anderen Punkte des Einheitskreises oberhalb oder unterhalb der x-Achse und haben deshalb eine y-Koordinate, die ungleich Null ist.

Comments

Es soll nur mittels den Informationen gemacht werden:

sin(0)= sin(π) = 0

π ist die kleinste positive Nullstelle

sin(-x) = -sin(x)

sin(2π+z) = sin(z)

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Angenommen es gibt eine Nullstelle im Intervall \((\pi, 2\pi)\). Dann gibt es wegen \(\sin (2\pi+x) = \sin x\) eine Nullstelle im Intervall \((-\pi, 0)\). Wegen \(\sin -x = -\sin x\) gibt es dann eine Nullstelle im Intervall \((0,\pi)\).

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Ahh, ich habe mir sowas in der Richtung schon gedacht, konnte es aber nicht ausformulieren. Vielen Dank.

Answer 2

Laß dir einmal die sin-Funktion zeichnen.

Nullstellen
0*pi, 1*pi, -1*pi, 2*pi, -2*pi usw

pi * x ; x ∈ ℤ

Comments

Ich muss aber zeigen, dass es sonst keine weiteren Nullstellen gibt.