Nullstellen Funktionenschar: f(x) = -1/4 x(x-2a)^2

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f durch die Gleichung

 

1. Geben Sie die Nullstellen der Funktionen f an und gehen Sie in einer Fallunterscheidung auf deren Vielfachheiten und geometrische Bedeutung in Abhängigkeit von a ein. 

Wenn möglich mit Lösungsweg.  

Answer 1

f(x) = -1/4 x(x-2a)^2  ist schon faktorisiert ! 

Nullstellen ablesen: 

x1 = 0,         

x2 = x3 = 2a  

1. Fall a≠0

x1 = 0,         ist eine einfache Nullstelle (der Graph von f schneidet die x-Achse in Q(0|0) unter einem Winkel ungleich 0) 

x2 = x3 = 2a    ist eine doppelte Nullstelle (also ist P(2a|0) ein lokaler Extremalpunkt. 

2. Fall a=0.

x1 = 0,         

x2 = x3 = 2a = 0

x1 = 0 ist eine dreifache Nullstelle. (also ist O(0|0)  ein Sattelpunkt) 

Answer 2

f(x) = -1/4 * x * ( x - 2a )²

1. Fall:  a=0    eine dreifache Nullstelle bei 0

2. Fall  a≠0    eine einfache Nullstelle bei 0
                      und eine doppelte bei 2a.