Bei a) brauchst du nur die Stammfunktion G(x) ableiten und zeigen das g(x) heraus kommt. Ansonsten habe ich mal probiert ein paar Kontrollergebnisse zu berechnen.
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Insel.
Strandfläche
f(x) = x - 1/8·x^2
F(x) = 1/2·x^2 - 1/24·x^3
Nullstellen f(x) = 0
-1/8·x^2 + x = 0 --> x = 0 LE ∨ x = 8 LE
∫ (0 bis 8) f(x) dx = F(8) - F(0) = 32/3 = 10.67 FE
Wohnfläche
g(x) = e^{x/5 - 2}·(2·x - 20)
G(x) = e^{x/5 - 2}·(10·x - 150)
Nullstellen g(x) = 0
e^{x/5 - 2}·(2·x - 20) = 0 --> x = 10 LE
∫ (0 bis 10) g(x) dx = G(10) - G(0) = -50 - (- 150/e^2) = -29.70 FE
A = 10.67 + 29.70 = 40.37 FE = 40.37 ha
Die Fläche der Insel beträgt ca. 40.37 ha.
b) Welche maximale Nord-Süd-Ausdehnung hat der untere Teil der Insel, d.h. das Wohngebiet?
g(x) = e^{x/5 - 2}·(2·x - 20)
g'(x) = e^{x/5 - 2}·(0.4·x - 2)
Extrempunkt g'(x) = 0
e^{x/5 - 2}·(0.4·x - 2) = 0 --> x = 5 LE
g(5) = -10/e = -3.679 LE
Die maximale Nord-Süd-Ausdehnung beträgt 367.9 m.
