Vollständige Induktion Beweis Ungleichung mit Fakultät: (2n)! < 4^n*(n!)² für alle n ∈ N

Question

Ich bräuchte Hilfe mit folgender Ungleichung, die ich durch vollständige Induktion beweisen soll! Ich komme leider überhaupt nicht weiter!

(2n)! < 4ⁿ*(n!)² für alle n ∈ N

Comments

Kann sein, dass die der Beweis einer etwas einfacheren Ungleichung mit Fakultäten schon genug weiterhilft (?) :

https://www.mathelounge.de/278741/ungleichung-n-2-n-%E2%89%A4-n-1-mit-vollstandiger-induktion-zeigen

Falls gar nicht: Bei den "ähnlichen Fragen" noch etwas weiter suchen, dich nochmals melden und warten.

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Kann mir wer mit der vollständigen Induktion dieser Ungleichung helfen?

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Kann mir wer bei der vollständigen Induktion dieser Ungleichung helfen?

Answer 1

(2n)! < 4ⁿ*(n!)²

Formuliere diese Aussage für n+1 an der Stelle von n

(2(n+1))! < 4ⁿ⁺¹*((n+1)!)² und arbeite jetzt rückwärts:

(2n)! (n+1)(n+2)< 4ⁿ·4·(n!·(n+1))² Division durch n+1

(2n)! (n+2)< 4ⁿ·4·(n!)²·(n+1).

Jetzt ist n+2<4(n+1) und mit dieser Ungleichung wird (2n)! < 4ⁿ*(n!)² multiplizert. Also

(2n)! (n+2)< 4ⁿ·4·(n!)²·(n+1). Und jetzt den dargestellten Rechenweg umkehren. Dann ist unter der                   Voraussetzung (2n)! < 4ⁿ*(n!)² bewiesen^, dass
(2(n+1))! < 4ⁿ⁺¹*((n+1)!)²