Integral mit Partialbruchzerlegung. ∫(x²+x+2) / ((x-1)²(2x+3)) dx.

Question

Ich muss ein Integral mittels Partialbruchzerlegung berechnen, aber irgendwie komm ich bei der Partialbruchzerlegung immer auf ein falsches Ergebnis.... Vl. weiß jemand, was ich falsch mache....

∫(x²+x+2) / (x-1)²(2x+3)

Ich hab die Partialbruchzerlegung so angefangen:

A/(x-1)  +  B/(x-1)²  +  C/(x+3/2)

Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auf:

A*(x-1)(x+3/2) + B*(x+3/2) + C*(x-1)² =

x² *(A+C) + x*(1/2A+B-2C) + (-3/2A+3/2B+C)

Dann hab ich gedacht, weil beim Ausgangterm im Zähler vor dem x² eine 1 steht, muss A+C=1 sein, und 1/2A+B-2C=1 und -3/2A+3/2B+C=2

Wenn ich dieses Gleichungssystem löse kommt für A=14/25, für B = 8/5 und für C = 11/25 , diese Ergebnisse stimmen aber nicht, und ich weiß einfach nicht warum oder was ich falsch gemacht habe, vielleicht kann mir ja wer helfen!

Answer 1

Dann hab ich gedacht, weil beim Ausgangterm im Zähler vor

dem x² eine 1 steht, muss A+C=1 sein, und 1/2A+B-2C=1 und -3/2A+3/2B+C=2.

Das stimmt nicht ganz, weil du ja (x+3/2 ) als Nenner genommen hast und

nicht (2x+3) wie es in der Aufgabe war.

Also ist  dein Ergebnis die Zerlegung für

(x²+x+2) / ((x-1)²(x+3/2))

=  (14/25) /( x-1)   + (8/5) / (x-1)²   + (11/25) / ( x+3/2)

Nun ist aber

(x²+x+2) / ((x-1)²(2x+3))  =  2*  (  (x²+x+2) / ((x-1)²(x+3/2))  )

also musst du deine Zähler alle durch 2 teilen, das gibt 


  (7/25) /( x-1)   + (4/5) / (x-1)²   + (5,5/25) / ( x+3/2)

und wenn du den letzten Bruch mit 2 erweiterst

(7/25) /( x-1)   + (4/5) / (x-1)²   + (11/25) / ( 2x+3)

Answer 2

Bis auf einen kleinemn Vorzeichenfehler war alles richtig: x² *(A+C) + x*(1/2A+B-2C) + (-3/2A - 3/2B+C).

Comments

aber wie kommt man auf das minus? man multipliziert B doch mit (x+3/2), woher kommt das minus?

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und wenn ich das minus ausbessere und das Gleichungssystem löse, kommen auch falsche werte raus...

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Du hast den Linearfaktor 2x+3 halbiert. und x+3/2 erhalten. Konsequenterweise musst du nun auch den Zähler halbieren und dein LGS lautet

A+C=1/2, 1/2A+B-2C=1/2 und -3/2A+3/2B+C=1