Reihen auf Konvergenz prüfen. Bsp. Summe (k+3)*2^{-k}

Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a)$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ (k+3)\cdot { 2 }^{ -k } } \\ \\$$
(b)$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ (-1)^{ k } } \cdot \left( \frac { k }{ k+3 }  \right) ^{ 2k }\\ \\$$
(c) $$\\ \\ \frac { \cos { \left( 20\pi  \right)  }  }{ \ln { \left( { 20 }^{ 2 } \right)  }  } +\frac { \cos { \left( 21\pi  \right)  }  }{ \ln { \left( { 21 }^{ 2 } \right)  }  } +\frac { \cos { \left( 22\pi  \right)  }  }{ \ln { \left( { 22 }^{ 2 } \right)  }  } +\quad \quad ...$$
(d)$$\\ \sum _{ k=4 }^{ \infty  }{ \frac { 5 }{ k(\sqrt { k+2 } +\sqrt { k-3 } ) }  }$$

Comments

Bei 1d) brauche ich hilfe

Answer 1

(d) Substituiere \(k=i+3\) und wende anschließend das Majorantenkriterium auf die allgemeine harmonische Reihe an.

$$\sum_{k=4}^\infty\frac{5}{k(\sqrt{k+2}+\sqrt{k-3})}=\sum_{i=1}^\infty\frac{5}{(i+3)(\sqrt{i+5}+\sqrt{i})}$$

und da \(i<i+3\) und \(\sqrt{i} < \sqrt{i+5}\) ist

$$\sum_{i=1}^\infty\frac{5}{(i+3)(\sqrt{i+5}+\sqrt{i})} \lt \sum_{i=1}^\infty\frac{5}{i(\sqrt{i}+\sqrt{i})}=\frac{5}{2} \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^{\frac{3}{2}}}$$

und letzteres ist eine allgemeine harmonische Reihe mit \(\alpha =\frac{3}{2}> 1\), die konvergiert.