Weitere Eigenvektoren bestimmen

Question

ich habe die Matrix $$ \begin{pmatrix}  -1 & 1& 0& 1 \\ 0 & 0& -1& 0 \\ 1 & 0& 0& 0 \\ 0 & 0& 1& 0 \end{pmatrix} $$
Die Eigenwerte sind dann
$$ \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 $$ $$ \lambda_4=1 $$ Als Eigenvektoren habe ich:$$ \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\-1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1 \end{pmatrix} $$

Nun brauche ich noch die restlichen beiden Eigenvektoren um meine Aufgabe lösen zu können.

Ich habe etwas davon gelesen das man das mit Hauptvektoren macht, aber ich komme leider nicht so ganz dahinter wie das geht.

Wäre super wenn da jemand helfen könnte :)

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also ich habe den einen eigenvektor zum eigenwer 0 und den anderen zum eigenwert 1 berechnet. .die Kontrolle mit wolfram alpha gibt für diese beiden auch mein Ergebnis aus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,1,0,1%7D,%7B0,0,-1,0%7D,%7B1,0,0,0%7D,%7B0,0,1,0%7D%7D

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Richtig. Da habe ich vorher falsch überlegt.

Nur: Wenn da keine weiteren Eigenvektoren stehen, warum gehst du davon aus, dass es noch andere gibt?

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das Problem ist, dass ich exp(A) mit der Formel exp(A)=T*exp(D)*T^-1

Aber um T zu bilden brauche ich normalerweise 4 Eigenvektoren. Und ich weiß nicht, wo ich die 2 fehlenden her nehmen soll

Answer 1

Meinst du die "generalisierten" hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors+of+%7B%7B1,1,0,1%7D,%7B0,0,-1,0%7D,%7B1,0,0,0%7D,%7B0,0,1,0%7D%7D  

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ja genau, das sind die die ich brauche. nur den begriff generalisiert kenne ich in dem zusammenhang noch nicht. aber woher bekommt man die ?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=generalized+eigenvectors

erklärt:

Wenn ich das richtig verstehe sind das in deinem Fall lambda =0

Eigenvektoren von A^2 und von A^3 .

Answer 2

Schau dazu auch unter

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum

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ok. vielen Dank. werde ich mal durchrechnen

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also wenn ich den ersten schritt,also mit A^2 mache, klappt noch alles und ich bekomme den vektor (-1,1,0,0)

Aber beim 2. funktioniert es irgendwie nicht mehr

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,1,0,1%7D,%7B-1,-1,0,1%7D,%7B1,1,0,1%7D,%7B1,1,0,1%7D%7D(a,b,c,d)%3D(-1,1,0,0)

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So bekommst du die beiden anderen Vektoren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,1,0,1%7D,%7B0,0,-1,0%7D,%7B1,0,0,0%7D,%7B0,0,1,0%7D%7D*%7Ba,b,c,d%7D%3D%7B0,1,0,-1%7D

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,1,0,1%7D,%7B0,0,-1,0%7D,%7B1,0,0,0%7D,%7B0,0,1,0%7D%7D*%7Ba,b,c,d%7D%3D%7B0,0,-1,0%7D

Setze für die Buchstaben möglichst 0 ein um etwas einfaches zu bekommen.

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ok. die stimmen ja auf jeden Fall mit der Lösung überein, die Wolfram alpha bei der

Matrix ausgibt.

Was ich aber nicht verstehe: In den Erklärungen steht überall, dass man die Matrix ^2 bzw. ^3 nehmen muss.

Warum hast du das jetzt nicht gemacht und es kommt das richtige raus?

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Weil ich mit dem bereits berechneten Vektoren rechne und dann nur mit der Matrix hoch 1 weiter rechnen muss.

Wenn du die Artikel bei Wikipedia mal genau durchliest dann verstehst du warum das auch geht und eigentlich einfacher ist. Ich fange ja nicht erst an eine Matrix zu quadrieren. Das wäre ja viel aufwendiger.