Stochastik. Münzwurf mit manipulierten Münzen. m_1 zeigt zu 3/4 Kopf, m_2 zeigt zu 1/4 Kopf

Question

ich habe die letzten Tage schon mehrmals versucht diese Aufgabe zu lösen, jedoch nicht wirklich erfolgreich.
Es geht um 2 Münzen m₁ und m₂, die geworfen werden. Beide Münzen sind manipuliert, sodass gilt:

• m₁ zeigt zu 3/4 Kopf
• m₂ zeigt zu 1/4 Kopf

Dazu gibt es folgende Angabe: Von n Würfen ergeben m Kopf

Nun soll ich begründen, dass mit Wahrscheinlichkeit 1/(1+3^n-2m) mit Münze m₁ geworfen wurde.

Leider habe ich da nicht wirklich einen brauchbaren Ansatz.Auf jeden Fall gilt für Ereignis E (m₁ zeigt bei n Würfen m mal Kopf und n-m mal Zahl):$$ Pr[E] = \left( \frac{3}{4} \right)^m \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{n-m} $$
Für Ereignis F (m₂ zeigt bei n Würfen m mal Kopf und n-m mal Zahl):$$ Pr[F] = \left( \frac{1}{4} \right)^m \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n-m} $$
Ich hoffe, ihr könnt mir einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe angehen soll...

Answer 1

Lösung mit bedingter Wahrscheinlichkeit.

A: Münze m1 wurde geworfen.

B: Von n Würfen wurde m mal Kopf erzielt.

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A | B) = COMB(n, m)·(3/4)^m·(1/4)^{n - m} / (COMB(n, m)·(3/4)^m·(1/4)^{n - m} + COMB(n, m)·(1/4)^m·(3/4)^{n - m})

P(A | B) = 3^{2·m} / (3^{2·m} + 3^n)

P(A | B) = 3^{2·m - 2·m} / (3^{2·m - 2·m} + 3^{n - 2·m})

P(A | B) = 1 / (1 + 3^{n - 2·m})