Determinantenform berechnen

Question

ich habe folgende Aufgabe zur Determinantenform und benötige etwas Hilfe.

Es sei V ein Vektorraum, b₁,...,b_n für ein n ∈ N eine Basis von V und x ∈ V ein Vektor in V. Ferner sei D die Determinantenform mit D(b₁,...,b_n) = 1. Berechnen Sie D(−b₁,...,−b_n) und D(b₁ +x,...,b_n +x).

Zur Idee: D ist eine alternierende n-Linearform.

D(−b₁,...,−b_n) = (-1)ⁿ * D(b₁,...,b_n)  = (-1)ⁿ, da D n-linear ist.

Wie kann man aber den zweiten Teil D(b₁ +x,...,b_n +x) berechnen?

Answer 1

D(b₁ +x,...,b_n +x)

= D(b₁,b₂ +x,...,...,b_n +x)   + D(x,b₂ +x,...,b_n +x)

= D(b₁,b₂+x,...,...,b_n +x) + D(x,b₂,...,...,b_n +x)   + D(x,x,...,b_n +x)

= D(b₁,b₂+x,...,...,b_n +x) + D(x,b₂,...,...,b_n +x)   denn der letzte ist 0 wegen "alternierend"

vielleicht kommt man so suczessive weiter ??