Optimierungsaufgaben

Question

Hallo :)

Kann mir jemand bitte bei den Aufgaben helfen wäre sehr sehr nett :)

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Nach den Schreibregeln von  Mathelouge

https://www.mathelounge.de/schreibregeln

sollen voneinander unabhängige Aufgaben in getrennten Fragen eingestellt werden.

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Die G Ok das wusste ich nicht

Answer 1

ich berechne für die Querschnittfläche \(Q\) folgende Abhängigkeit:

$$Q(\alpha,\beta)= l^2\cdot ( \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \sin \beta \cdot \cos \beta + 2\cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha)$$

Die Ableitungen sind

$$\frac{d}{d\alpha}Q=l^2 \cdot ( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 2 \cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha)$$

$$\frac{d}{d\beta}Q=l^2 \cdot (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta + 2 \cdot \cos\beta \cdot \cos\alpha )$$

nach dem zu 0-Setzen erhält man zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten \(\alpha\) und \(\beta\). Aber genau wie Wolfgang kann ich keine geschlossen Lösung finden. Da hilft nur noch der mehr-dimensionale Newton.

Als rekursive Anweisung bekomme ich folgendes Gleichungssystem:

$$\begin{pmatrix} \frac{d}{d^2\alpha}Q& \frac{d}{d\alpha \space d\beta}Q\\ \frac{d}{d\beta \space d\alpha}Q&\frac{d}{d^2\beta}Q \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_{n+1}\\ \beta_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{d}{d^2\alpha}Q\cdot \alpha_n +  \frac{d}{d\alpha \space d\beta}Q \cdot \beta_n -\frac{d}{d\alpha}Q \\ \frac{d}{d\beta \space d\alpha_n}Q \cdot \alpha_n + \frac{d}{d^2\beta_n}Q \cdot \beta_n -  \frac{d}{d\beta}Q\end{pmatrix}$$

Und als Lösung erhalte ich \(\alpha=22,5°\) und \(\beta=67,5°\) mit eine \(Q=l^2\cdot (1+\sqrt{2}) \) und zwar genau - nicht ungefähr; was den Verdacht bestärkt, dass es da noch eine schlaue Lösung ohne Näherungsverfahren gibt!

Ich habe das ganze noch mal graphisch geprüft - das scheint zu stimmen:

Gruß Werner

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dass es da noch eine schlaue Lösung ohne Näherungsverfahren gibt!

Aus dQ/da = 0  folgt  cos^2 a - sin^2 a = 2 sin a sin b, also  cos 2a  =  2 sin a sin b
Aus dQ/db = 0  folgt  cos^2 b - sin^2 b = -2 cos a cos b, also cos 2b = - 2 cos a cos b

Subtraktion liefert cos 2a - cos 2b  =  -2 sin(a+b) sin(a-b)  =  2 cos (a-b)
Addition liefert cos 2a + cos 2b  =  2 cos(a+b) cos(a-b)  =  -2 cos(a+b)

Aus Letzterem folgt wegen cos(a-b) ≠ -1, dass cos(a+b) = 0, daher a+b = 90° 
und somit  sin(a+b) = 1 ist.
In die vorherige Gleichung eingesetzt ergibt das -2 sin(a-b) = 2 cos(a-b)
tan(a-b) = -1 liefert a-b = -45°

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hallo hj2166 ... mit Dir hatte ich gerechnet! ;-)

Answer 2

Zu 1) Vorschlag: Optimiere zunächst nur den unteren (dreieckigen) Teil der Rinne. Hier ist die optimale Querschnittsfläche 1/2 und die Basis des gleichschenkligen Dreiecks √2. Dann ist die Fläche des Trapez (oberer Teil) Q_T=(√2+√(1-x²))x. Dabei ist x die Höhe des Trapezes. Die gesamte Querschnittsfläche ist dann: Q(x)=Q_T*1/2 =(√2+√(1-x²))x+1/2. Nullstellen von Q'(x) bestimmen und das Übliche.

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Wenn ich richtig gerechnet habe, gilt für die Maßzahl der gesamten Querschnittsfläche Q der Rinne ( a = α , b = β):

Q(a,b) = 1/2·SIN(π - 2·a) + (SIN(π - 2·a ) / SIN(a) + COS(b))·SIN(b)

Nach Rolands Ansatz wäre a = π/4  ( = 45°)

und damit

Q_π/4(b) = SIN(b)·COS(b) + √2·SIN(b) + 1/2

Das Maximum von Q₂ ergäbe sich dann für

Q_π/4' (b)  = 2·COS(b)^2 + √2·COS(b) - 1 = 0

mit der Lösung  b ≈ 1.118517879   ( ≈ 64.1°)

Q( π / 4 ,  1.118517879)  ≈  2.165095338   

Verkleinert man jedoch den Winkel a = π/4  z.B. auf  π/4 - 0.1

Ergibt sich bei gleich bleibendem b = 1.118517879  

Q( π/4 - 0.1  ,  1.118517879 ) ≈  2.275763894  

Der Ansatz wäre - wenn ich richtig gerechnet habe - also falsch. 

Leider ist es mir nicht gelungen, für 

Q(a,b) = 1/2·SIN(π - 2·a) + (SIN(π - 2·a ) / SIN(a) + COS(b))·SIN(b) 

ein Maximum zu berechnen, weil ich das Gleichungssystem 

Q_a = 0   und  Q_b = 0    nicht lösen konnte. 

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hallo Wolfgang, hallo Roland,

ich stimme Wolfgang zu. Rolands Ansatz den Winkel \(\alpha\) selektiv ohne den Einfluss auf die oberen Anteile der Querschnittfläche  zu 'optimieren' ist falsch.

Gruß Werner