Beweis Projektion linearer Operator

Question

Ich habe folgendes zu zeigen

Und weis bei ii nicht wie ich das zeigen kann,

Answer 1

Hallo,

(i) hast du schon gelöst.

Zu (ii): Dass E Projektion ist, verbirgt sich meiner Meinung nach in der Voraussetzung E^2 = E, die zumindest laut Wikipedia eine Projektion definiert (*). Trivialerweise projeziert E in sein Bild.

Eine zusätzliche Eigenschaft ergibt sich aus E^2 = E, nämlich dass man u in einen Anteil aus dem Bild von E und in einen Anteil aus dem Kern von E zerlegen kann: u = u - E(u) + E(u).

Wegen E(u - E(u)) = E(u) - E^2(u) = 0 ist u - E(u) im Kern von E. E(u) ist offensichtlich im Bild von E.

Grüße

Mister

(*) https://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_(Lineare_Algebra)