Wir setzen t = π-x. Dann haben wir dass dt = -dx.
Wenn x=0 dann t = π-0 = π. Wenn x=π dann t = π-π = 0.
Wir bekommen also folgendes:
$$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=-\int_\pi^0 (\pi-t)f(\sin(\pi-t))dt =\int_0^\pi (\pi-t)f(\sin(\pi-t))dt =(\star)$$
Wie können die Integrationsvariable t umbenennen und zwar x. Wir bekommen dann folgende:
$$(\star) = \int_0^\pi (\pi-x)f(\sin(x))dx = \int_0^\pi \pi f(\sin(x))dx - \int_0^\pi xf(\sin(x))dx \\ = \pi\int_0^\pi f(\sin(x))dx - \int_0^\pi xf(\sin(x))dx$$
Wir haben also: $$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\pi\int_0^\pi f(\sin(x))dx - \int_0^\pi xf(\sin(x))dx \\ \Rightarrow 2\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\pi\int_0^\pi f(\sin(x))dx \\ \Rightarrow \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin(x))dx$$
