Vollständige Induktion. Ungleichung zeigen √(a+1) - 1 ≤ ∑i=1 bis a über 1/√i

Question

Hallo

Ich habe folgende Aussage gegeben und soll diese per Induktion beweisen.

$$ \sqrt { a+1 } -1\le \sum _{ i=1 }^{ a }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  }  $$  für a ≥ 1 und a ∈ ℕ

Den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung die aus der Aussage besteht bekomme ich hin. Aber beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter. Wäre jemand so freundlich mir den Induktionsschritt einem zu zeigen?

Vielen Dank :)

Answer 1

Für a=1 ist es ja klar.

Wenn es für a gilt, dann ist

∑i=1 bis a+1 über 1/√i

=1/√(a+1) + ∑i=1 bis a über 1/√i

und wegen Ind. vor ist das

≥ 1/√(a+1) + √(a+1) - 1

und es bleibt zu zeigen, dass dieses ≥  √(a+2) - 1 ist.

Also muss man mal umformen:

1/√(a+1) + √(a+1) - 1 ≥  √(a+2) - 1

<=>1/√(a+1) + √(a+1)  ≥  √(a+2)    | *√(a+1)

<=>1 + a+1    ≥  √(a+2) *√(a+1)



<=> a+2   ≥  √(a+2) *√(a+1)

Da alles pos. ist, ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

<=> (a+2)²   ≥ (a+2) (a+1)  

<=> a²+4a + 4   ≥ a² + 2a + a + 3  

<=>    4a + 4   ≥   3a + 3  

<=>    a + 1   ≥  0

Und das ist für a ≥1 sicher erfüllt.    q.e.d. 

Answer 2

Üblicherweise schreibt man n für a. Also setze ich a=n. Dann ist zu zeigen:

Wenn √(n+1) - 1 ≤_i=1∑ⁿ1/√i,               (Voraussetzung)

dann √(n+2) - 1 ≤_i=1∑ⁿ1/√i +1/√(n+1) (Behauptung).

Wenn die Differenz "Voraussetzung - Behauptung" für alle n wahr ist, dann ist auch die Behauptung für alle n wahr. Bleibt zu zeigen: √(n+2) - √(n+1) ≤ 1/√(n+1) gilt für alle n. Und das zeige ich jetzt:

n+1 ≤ n+2 ist wahr für alle n. Auf beiden Seiten mal (n+2). Dann gilt

(n+1)(n+2) ≤ (n+2)² Auf beiden Seiten Wurzel ziehen:

√((n+1)(n+2)) ≤ (n+2). Auf beiden Seiten minus (n+1).

√((n+1)(n+2)) - (n+1) ≤ 1. Auf beiden Seiten durch √(n+1).

√(n+2) - √(n+1) ≤ 1/√(n+1),was zu zeigen war.