Zu zeigen: \((1+x)^n\leq 1+(2^n-1)x\) für \(x\in [0,1]\)
1. Induktionsvoraussetzung (IV): \(\exists n\in \mathbb{N} : (1+x)^n\leq 1+(2^n-1)x\) für \(x\in [0,1]\)
2. Induktionsbehauptung (IB): \((1+x)^{n+1}\leq 1+(2^{n+1}-1)x \) für \(x\in [0,1]\)
3. Induktionsanfang (IA) mit \(n_0=1\): \( \quad (1+x)^1\leq 1+(2^1-1)x \Leftrightarrow 1+x\leq 1+x \quad \checkmark\)
4. Induktionsschrit/-schluss (IS):$$(1+x)^{n+1}\leq 1+(2^{n+1}-1)+x \\ \Leftrightarrow \colorbox{#FFFF00}{(1+x)ⁿ}\cdot (1+x) \leq 1+(2^{n+1}-1)+x $$Wir wissen, dass \(\colorbox{#FFFF00}{(1+x)ⁿ}\leq 1+(2^{n+1}-1)x\). Also können wir \((1+x)^n\) ersetzen:$$\overbrace{[1+(2^{n+1}-1)+x]\cdot (1+x)}^{=2^n\cdot x^2+2^n\cdot x-x^2+1}\leq \overbrace{1+(2^{n+1}-1)+x}^{=2^{n+1}\cdot x-x+1} \\ 2^n\cdot x^2+2^n\cdot x-x^2 \leq 2^{n+1}\cdot x-x+1 \quad \quad |-1 \\ 2^n\cdot x^2+2^n\cdot x-x^2\leq 2^{n}\cdot 2^1\cdot x-x+1 \quad |-(2^n\cdot x) \\ 2^n\cdot x^2-x^2 \leq 2^n\cdot x-x \\ x^2(2^n-1) \leq x(2^n-1) \\ x^2 \leq x \\ x\leq 1 \quad \Box$$ Stimmt das soweit? Ich bin mir nie sicher, wann ich etwas eindeutig bewiesen habe. Ich finde es komisch, dass am Ende zwar eine wahre, aber halt eine Aussage über \(x\) ist. Naja?
