Vollständige Induktion: (1+x)n ≤ 1+(2n-1)·x mit x∈[0,1]

Question

Zu zeigen: $(1+x)^n\leq 1+(2^n-1)x$ für $x\in [0,1]$

1. Induktionsvoraussetzung (IV): $\exists n\in \mathbb{N} : (1+x)^n\leq 1+(2^n-1)x$ für $x\in [0,1]$

2. Induktionsbehauptung (IB): $(1+x)^{n+1}\leq 1+(2^{n+1}-1)x$ für $x\in [0,1]$

3. Induktionsanfang (IA) mit $n_0=1$: $\quad (1+x)^1\leq 1+(2^1-1)x \Leftrightarrow 1+x\leq 1+x \quad \checkmark$

4. Induktionsschrit/-schluss (IS):$$(1+x)^{n+1}\leq 1+(2^{n+1}-1)+x \\ \Leftrightarrow \colorbox{#FFFF00}{(1+x)ⁿ}\cdot (1+x) \leq 1+(2^{n+1}-1)+x$$Wir wissen, dass $\colorbox{#FFFF00}{(1+x)ⁿ}\leq 1+(2^{n+1}-1)x$. Also können wir $(1+x)^n$ ersetzen:$$\overbrace{[1+(2^{n+1}-1)+x]\cdot (1+x)}^{=2^n\cdot x^2+2^n\cdot x-x^2+1}\leq \overbrace{1+(2^{n+1}-1)+x}^{=2^{n+1}\cdot x-x+1} \\ 2^n\cdot x^2+2^n\cdot x-x^2 \leq 2^{n+1}\cdot x-x+1 \quad \quad |-1 \\ 2^n\cdot x^2+2^n\cdot x-x^2\leq 2^{n}\cdot 2^1\cdot x-x+1 \quad |-(2^n\cdot x) \\ 2^n\cdot x^2-x^2 \leq 2^n\cdot x-x \\ x^2(2^n-1) \leq x(2^n-1) \\ x^2 \leq x \\ x\leq 1 \quad \Box$$ Stimmt das soweit? Ich bin mir nie sicher, wann ich etwas eindeutig bewiesen habe. Ich finde es komisch, dass am Ende zwar eine wahre, aber halt eine Aussage über $x$ ist. Naja?

Answer 1

Von x² ≤ x kommst du ja eher auf

x² - x ≤ 0

<=>  0 ≤ x ≤ 1   bzw. x ∈ [0,1] .

Und das war ja schließlich vorausgesetzt !

Comments

Stimmt, ich habe nicht überdacht, dass ich in den letzen zwei Schritten durch 0 geteilt habe. Aber sonst ist es richtig?

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Ja, ich finde es OK.

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Super, danke!

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x^2 - x ≤ 0 <=>  0 ≤ x ≤ 1  bzw. x ∈ [0,1]

 Muss man die Äquivalenz eigentlich noch zeigen?! Oder ist das noch im Rahmen, dass man es voraussetzen kann.

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Oder ist das noch im Rahmen, dass man es voraussetzen kann.

Das ist von der Lehrperson bzw. vom Übungsleiter abhängig :-)

x² - x ≤ 0 ⇔  x·(x-1) ≤ 0 <=>  0 ≤ x ≤ 1  bzw. x ∈ [0,1]

Das könnte man sicherheitshalber noch einflicken (und eventuell auf die negativen Werte zwischen den Nullstellen des Terms einer nach oben geöffneten Parabel hinweisen).

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Aber sonst ist es richtig?

Dein Beweis liest sich logisch von unten nach oben. Deshalb wären die Zeichen ⇔ bzw.  ⇐  zwischen den Zeilen sinnvoll.

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Das könnte man sicherheitshalber noch einflicken (und eventuell auf die negativen Werte zwischen den Nullstellen des Terms einer nach oben geöffneten Parabel hinweisen).

Ich habe den Zwischenschritt schon drinnen gehabt.

Dein Beweis liest sich logisch von unten nach oben. Deshalb wären ⇔ - Zeichen zwischen den Zeilen sinnvoll.

gibt dem ganzen auch einen professionellen Flair.

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Dein Beweis liest sich logisch von unten nach oben. Deshalb wären ⇔ - Zeichen zwischen den Zeilen sinnvoll.
gibt dem ganzen auch einen professionellen Flair.

Wenn man "böse" sein will: So wie du das hinschreibst, ist es ein Zufallstreffer. Beweise werden nicht absichtlich logisch verkehrt rum hingeschrieben.

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War auch ein Zufallstreffer :'D.