Wachstumsfunktion: Bakterienkultur mit 10% Wachstum pro Stunde.

Question

In einem Bioreaktor werden ein Milligramm Bakterien angesetzt. Sie vermehren sich zunächst mit einer Wachstumsrate von 10 % in der Stunde.

a) Erklären Sie die zugehörige Formel \( f(t)=f(0) e^{k i} \) und geben Sie sie for obiges Wachstum an. Berechnen Sie, wie viele Milligramm nach 24 Stunden vorhanden sind und wann das Gewicht auf das Hundertfache angewachsen ist. Skizzieren Sie den Verlauf der zugehörigen Funktion un beschreiben Sie ihn.

b) Der Bioreaktor kann maximal ein Kilogramm Bakterien fassen. Deshalb unterliegt das anfangs exponentielle Wachstum mit der Zeit einer Beschrânkung, dem Sättigungswert von 10000000 mg. Das Wachstum wird durch die logistische Funktion \( f(t)=\frac{1000000}{1+c=0^{-0.09314}} \) beschrieben. Ermitteln Sie c aus obiger Formel, wenn \( f(0)=1 \) ist.

Auf welche Zahl sind die Bakterien nach 24 Stunden angewachsen?

Wann erreichen die Bakterien ein Gewicht von \( 500000 \mathrm{mg} \)?

Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion.

Lösung:

a) \( f(t)=1 \cdot e^{0,0953 t} \), wobei \( f(t) \) für das Gewicht der Bakterien zum Zeitpunkt t, 1 fur die Anfangsmenge und \( e^{0,0953}=1,1 \) für den Wachstumsfaktor stehen. \( f(t)=1 \cdot 1,1^{24}=9,85 ; \) d.h. nach 24 Stunden sind rund \( 9,85 \mathrm{mg} \) Bakterien vorhanden. \( 100=1,1^{t} \Leftrightarrow t=\frac{\log 100}{\log 1,1}=48,32 ; \) d.h. nach rund 2 Tagen ist die Menge hundert Mal so groß wie zu Beginn.

Beim exponentiellen Wachstum gibt es konstante Wachstumsfaktoren, die Funktion ist eine wachsende oder fallende Kurve; bei linearen Funktionen wachsen die Funktionswerte um dieselben Absolutbeträge und der Graph ist daher eine Gerade.

Ansatz:

Logischerweise wäre dann für 24

f(24)=f(0)*e^{1,1*24}

Wie kommt man aber bitte auf die Lösung:

f(t)=1*e^{0,0953*t}
und
f(24)=1*1,1^{24}

Da ist doch ein e zuviel hineingerutscht?

Comments

ich komme auf
f(24)=1*e^{1,1*24}
als lösung, nicht das was sie hat

Answer 1

Da steht doch im Text 10% Wachstum pro Stunde. Das entspricht in jeder Stunde einer Multiplikation mit 1.1.

Deshalb rechnet man direkt

f(t) = Anfangswert* 1.1^t             , t in Stunden, ohne irgendein e.

f(24) = Anfangswert * 1.1^24

e braucht man da nicht unbedingt. Man kann aber e auch einführen:

Wegen 

 

e^0,0953 = 1.1       |ln

0.0953 = ln 1.1

kann man 1.1 durch e^0.0953 ersetzen.

Also f(t) = Anfangswert* (e^0.0953) ^t

= Anfangswert* e^{0.0953 * t}

Answer 2

1.1^x = (e^(ln(1.1)))^x = (e^0.09531017980)^x = e^(0.09531017980·x)