Beweis Verhältnis von Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor λ

Question

Ich soll beweisen, dass I Xσ(X) I / I XZ I = I 1-λ I ist. Das bedeutet also, dass der Abstand vom Bildpunkt zum Punkt X geteilt durch den Abstand vom Punkt X zum Zentrum Z gleich dem Betrag von 1-λ entspricht. Beim aufzeichnen und Beispiel- Durchrechnen ist mir klar geworden, dass es stimmt. Aber weiß ich leider nicht, wie ich an den Beweis herangehen soll.

Wenn ich die Bedingung einfach ausrechne wie sie da steht, komme ich nicht wirklich weiter: ( die einzelnen Striche sind Betragsstriche, die doppelten die Norm, bei σ gehe ich davon aus dass X auf λX + v abgebildet wird)

I Xσ(X) I / I XZ I

= I X(λX+v) I / IXZI

= II λX+v - X II / II Z-X II

= II X(λ-1)+v II / II Z-X II

Ja und ab dann ist es auch schon vorbei.... Ist das ein komplett falscher Weg, muss ich da anders herangehen?

Vielleicht weiß ja jemand weiter, das würde mich sehr freuen! :)

Comments

Hallo rosakatze,

Leider verstehe ich die Fragestellung nicht. Mal angenommen, \(\lambda\) wäre =1. Wenn \(\sigma(x)=\lambda x + v\) ist, dann ist in diesem Fall \(\sigma(x)=x+v\).  D.h. auch, dass \(|x\space \sigma(x)|=|v|\) sein muss, aber nicht \(|1-1|=0\)!? Wo ist mein Fehler im Verständnis der Aufgabe?

Kann es sein, dass \(\sigma(x)= (x-v)\lambda + v\) und \(v=z\) ist?

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Hallo Werner-Salomon,

also wir haben in der Vorlesung die Streckung wie folgt definiert: ∑λ,ν(X) = λ*X+v. λ als Streckungsfaktor, und v als Verschiebung. Ich dachte das kann ich jetzt zum ausrechnen einfach einsetzen.

Wenn man λ=1 wählt dann erhält man im Nenner I v I. Aber dann fehlt ja noch der Zähler, welcher IXZI ist. Und dieser Bruch soll dann Iλ-1I entsprechen.

Könnte das der Fehler sein, oder habe ich das Problem falsch verstanden? 

Wenn man λ=1 wählt und den Punkt X= (2/3) verschieben will und das Streckungszentrum der Punkt (0/0) ist dann müsste ja I(1-1)I / I1-0I = 0 = I1-1I = Iλ-1I herauskommen, richtig? Vielleicht verstehe ich die Aufgabe auch falsch....

Answer 1

Jetzt habe ich es verstanden. Mein Trugschluß war, dass der Zähler - also die Strecke \(X \space \Sigma(X)\) zu 0 werden muss, wenn \(\lambda=1\) ist. Das ist aber gar nicht notwendig, wenn geichzeitig der Nenner \(XZ\) unendlich groß wird!

Der Schlüssel für die Lösung liegt in \(Z\). Bei der Abbildung \(\Sigma\) muss sich der Punkt \(Z\) doch auf sich selbst abbilden  - und dies unabhängig vom Wert von \(\lambda\). D.h. es muss gelten

$$\Sigma(Z)=Z=\lambda Z + v \quad \Rightarrow Z(1-\lambda)=v$$

Zu beweisen ist, dass

$$\frac{\left| \Sigma(X) - X \right|}{\left| Z-X \right|}=|1-\lambda|$$

Einsetzen von \(\Sigma(X)\) und \(v\) (s.o.) ergibt

$$\frac{\left| \lambda X + Z(1 - \lambda) - X \right|}{\left| Z-X \right|}=|1-\lambda|$$

$$\frac{\left| Z(1 - \lambda) - X(1-\lambda) \right|}{\left| Z-X \right|}=|1-\lambda|$$

$$|1-\lambda|\frac{\left| Z - X \right|}{\left| Z-X \right|}=|1-\lambda|$$

q.e.d. Gruß Werner

Comments

Perfekt , danke!! Das mit der Abbildung des Zentrums hatte ich irgendwie verplant ! 

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Eine Frage hätte ich noch:

Kann man die Behauptung so umformulieren, dass der Streckungsfaktor λ nicht mehr vorkommt ?

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Kann ich λ da als ∑(Z)-v / Z schreiben ? Da das ja ausgeschrieben λ*Z+v-v/Z wäre und das gekürzt λ ist...

Und dann soll ich noch einen Strahlensatz zu der Aufgabe formulieren...

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Du fragst: "Kann ich λ da als ∑(Z)-v / Z schreiben" - ausnahmsweise im Prinzip Ja. Aber aufpassen, es handelt sich um Vektoren. Da aus

$$Z(1-\lambda)= v$$

unmittelbar folgt, dass die beiden Vektoren \(Z\) und \(v\) kollinear sind, kann man schreiben:

$$|\lambda| = \frac{|Z-v|}{|Z|}$$

Aber Achtung: so geht das Vorzeichen verloren! Das könnte man mit einer Fallunterscheidung wieder in's Boot holen.

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Und daraus kann man jetzt auf einen Strahlensatz schließen? Weil das verstehe ich nicht wirklich. Ich habe mein Zentrum, welches mit dem Punkt X und dem Punkt ∑X auf einer Gerade liegt. Wie soll ich denn mit einer Gerade einen Strahlensatz erstellen.....  Da bringt es mir doch auch nichts, dass ich λ ersetzt habe da ich da ja ein v drin habe...

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Ja - kann man. Um das zu 'sehen' benötigt man auf jeden Fall eine Zeichnung:

Der schwarze Kreis ist der Einheitskreis und der Radius des grünen Kreises gibt den Wert von \(\lambda\) an. Weiter ist gegeben der Vektor \(v\) (blau) und Du siehst die Punkte \(X\) und \(\Sigma(X)=X'\). Da \(\Sigma(X)= \lambda X + v\) ist \(X'\) in der Skizze die Vektorsumme aus \(v\) dem blauen Pfeil und dem kleineren roten Pfeil \(\lambda X\). \(X\) und \(\lambda X\) sind zwangsläufig parallel.

Laut Strahlensatz müsste also

$$\frac{|Z-v|}{|Z|}=\frac{|\lambda X|}{|X|}$$

sein. Da wollen wir hin ....

Wir haben (s.o.): \(|\lambda|=\frac{|Z-v|}{|Z|}\) da braucht man doch bloß links mit \(1=\frac{|X|}{|X|}\) multiplizieren:

$$|\lambda|=\frac{|Z-v|}{|Z|}=|\lambda| \frac{|X|}{|X|}=\frac{|\lambda X|}{|X|}$$

.. zeigt den Strahlensatz.

Gruß Werner