Textaufgabe: Reckteckige Weide mit einem 200 m langen Zaun für Schafe abstecken

Question

Ein hirte will für seine schaafe an einem kanal eine reckteckige weide mit einem 200 m langen zaun abstecken. das ufer des kanals soll dabei eine der rechtecksseiten sein und braucht nicht mit einem zaun versehen werden.wie muss der hirte die maße wählen damit die tiere möglichst viel platz haben?

Answer 1

dies ist eine Extremwertaufgabe. Die Zielfunktion f(a, b) = a*b soll hierbei maximal werden. Die Nebenbedingung ist, dass der Zaun genau 200 Meter lang ist: a + 2*b = 200 (a ist hierbei offenbar die zum Kanal parallele Seite des Rechtecks, die nicht mit Zaun bebaut werden muss).

Die Nebenbedingung kann man nun nach einer Variable umstellen, wie zum Beispiel nach a:

a = 200 - 2b. Dies setzt man in die Zielfunktion ein, die dadurch nur noch von b abhängt:

f = f(b) = (200 - 2b) b = 200b - 2b^2.

Ableiten ergibt

d/db f = f'(b) = 200 - 4 b.

Die Nullstelle der Ableitung ist b = 50. Das geißt a = 200 - 2b = 100. Folglich sind die Abmessungen so zu wählen:

(a, b) = (100, 50).

MfG

Mister

Comments

Extrema quadratischer Funktionen kann man durch Überführen in die Scheitelpunktform übrigens auch ohne Ableitungen finden.
Wenn man weiß, dass die Extremstelle [einer quadratischen Funktion] immer zwischen den Nullstellen liegt, kann man mit 200b-2b² = 2(100-b)b sofort sehen, dass b=50 die Extremstelle von f ist.

Ach ja, "Schaf" schreibt sich mit einem a. Und dann gibt es da noch etwas, was sich "Großschreibung" nennt...

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Das stimmt. Was man bei 2(100-b)b sofort sieht, ist allerdings das Resultat einer Variation vor dem inneren Auge (um die Stelle b = 50), was im weitesten Sinne einer Ableitung entspricht.

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Variation vor dem inneren Auge? Man rechnet (100 + 0)/2 = 50.

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Mein inneres Auge sagt mir, dass das Extremum genau zwischen den Nullstellen liegen muss. Diese Betrachtung wirkt sich auf die Denkgeschwindigkeit natürlich günstiger aus, als eine Variation vor dem inneren Auge. Diese ging von der geometrischen Betrachtung eines Quadrates und einer Störung seiner Seitenlängen aus.

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Dass das Extremum zwischen den Nullstellen liegt, folgt sofort aus der Achsensymmetrie des Graphen...

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Aus der Symmetrie des geometrischen Problems (Quadrat) folgt ebenso die Aussage, dass das Extremum genau zwischen den Nullstellen liegt (also dem arithmetischen Mittel der Nullstellen entspricht).