Analysis: Nullstelle nur mit Newton?

Question

eine kurze Frage:

wenn ich zu der Funktion     f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1

Nullstellen finden soll - dannwürde ich ja, wenn überall x vorkäme, ausklammern.

Da dem hier nicht so ist: geht da nur das Newtonsche Verfahren?

Comments

\(x^3-6x^2+9x+1=0.\) Substituiere \(x=\frac u3+\frac3u+2\) und erhalte \((2u^3+81)^2=3645\). Berechne daraus \(u\) und anschließend \(x\).

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Hallo nn,

na das ist ja mal eine Substitution. Ich hätte zwar dann mit

u^3/27 + 27/u^3 + 3=0 und

u^6 + 81 u^3 +729=0 dann z=u³ weitergemacht, aber schreibe doch mal eine eigene Antwort, wie man solche Substitutionen findet.

Answer 1

sieht so aus, gibt etwa  -0,1

Comments

Danke, dann bin ich quasi beruhigt. :)

Answer 2

Man könnte Hoch und Tiefpunkt bestimmen und eine Wertetabelle machen.

~plot~ x^3-6x^2+9x+1;[[-6|6|-2|6]] ~plot~

Newtonverfahren geht auch. 

Man findet eine Nullstelle bei ca. x = -0.1038034027

Answer 3

Leider fehlt auch hier wieder die Angabe der Klassenstufe, denn natürlich gibt es exakte Lösungsformeln, die bei Gleichungen 3. Grades auch alle 3 Lösungen ausgeben:

Cardanische Formeln & PQRST-Formel:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet es vor:

In der Schule kommt so etwas aber nicht vor! Selbst komplexe Lösungen nicht. Da wollen die Lehrer entweder:

Raten (und stellen nur Fragen nach glatten Lösungen), oder Newton-V. oder https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion

Für das exakte Ergebnis interessieren sich nicht mal Studenten im 1. Semester:

x₁= 2 - (3/2 - sqrt(5)/2)^{1/3} - (3/2 + sqrt(5)/2)^{1/3}