Stetigkeitsaufgabe f(x) = (/x+3/)/(x^2+4x+3)

Question

Bitte um Lösungsvorschlag.

f(x) = (/x+3/)/(x^2+4x+3)              / bedeutet Betragsstriche

Frage: In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht definiert und somit unstetig? Welche Art der Unstetigkeit liegt vor jeweils vor???

Comments

EDIT. "richtige" Betragsstriche | bekomme ich auf meiner MAC-Tastatur über

alt  zusammen mit /

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Hinweis:

Betragsstriche findet man auch auf der Tastatur:

|........| bei win altgr <

Answer 1

Nullstellen des Nenners

x^2 + 4·x + 3 = 0 --> x = -3 ∨ x = -1

-3 ist auch Nullstelle des Zählers also eine Sprungstelle. Liegt an dem Betrag.

-1 ist keine Nullstelle des Zählers also eine Polstelle.

Wir können den Term x + 3 im Zähler und Nenner Kürzen und erhalten

f(x) = SIGN(x + 3) / (x + 1)

Comments

mit den betrag auflösen komme ich nicht klar bzw. Fallunterscheidungen machen

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|x + 3| = SIGN(x + 3) * (x + 3)

Dann kannst du (x + 3) kürzen.

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Was bedeutet SIGN?

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SIGN(x) ist die Vorzeichen funktion

SIGN(x) ist -1 wenn x < 0

SIGN(x) ist 0 wenn x = 0

SIGN(x) ist 1 wenn x > 0

Das kann man gut machen, wenn man keine Lust auf Fallunterscheidungen hat.

Schau dazu auch unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion

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und wie mache ich die Fallunterscheidung ohne dieses SIGN

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Nenner null setzen. Nullstellen ausgerechnet und die setzte ich den Zähler ein?? wie muss ich das dann machen wegen dem betrag?? grösser und kleiner -1 untersuchen weil das ungleich null ist, im Zähler eingesetzt?

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Ein Betrag kann immer in 2 Fällen betrachtet werden

|x| = x für x >= 0

|x| = -x für x <= 0

Eigentlich braucht man x = 0 nur in einem Fall mit bearbeiten. Es schadet aber auch nicht das in beiden Fällen zu machen.

Wie man es in Fälle aufteilt hat Lu ja bereits vorgemacht.

Answer 2

f(x) = (/x+3/)/(x²+4x+3)        | Faktorisiere den Nenner 

f(x) = (/x+3/)/((x+3)(x+1) ) 

Definitionslücken sind x1 = -3 und x2 = -1 

1. Fall x ≥ -3

f(x) = (x+3)/((x+3)(x+1) )         | für x≠-3 

f(x) = 1/(x+1) , x ≠ -3  

x= -1 ist eine Polstelle.

f(-3) = 1/(-3+1) = -1/2 

2. Fall x < -3

f(x) = -(x+3)/((x+3)(x+1) )        

f(x) = -1/(x+1) , x ≠ -1, ist klar, weil x< -3 

lim f(x)_(x-> -3-) = -1 /(-3 +1 ) = 1/2 

Also zusammenfassend:

x = -3 ist eine Sprungstelle. 

x = -1 ist eine Polstelle.

Kontrolle:

~plot~ (abs(x+3))/(x^2+4x+3) ~plot~ 

Comments

kann ich das auch anders machen, nicht mit faktorisieren die Fallunterscheidung