Stetigkeitsaufgabe f(x)= (x^2-x-6)/(x^2+5x+6)

Question

Bitte um Lösungsvorschlag für folgende Funktion: f(x)= (x^2-x-6)/(x^2+5x+6)

Frage: In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht definiert und somit unstetig? Welche Art der Unstetigkeit liegt vor jeweils vor???

Answer 1

f(x) = (x^2 - x - 6) / (x^2 + 5·x + 6)

Mache eine Faktorzerlegung von Zähler und Nenner

f(x) = (x + 2)·(x - 3) / ((x + 2)·(x + 3))

Gemeinsame Nullstelle und damit Definitionslücke ist -2.

Eine Polstelle ist demnach bei -3.

Comments

woran erkennst du die Polstelle -3?

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kann ich es auch anders machen 1 Ableitung?

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aber woran sieht man das denn?? 

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Definitionslücken sind dort wo der Nenner Null wird. Also brauchst du nur die Nullstellen des Nenners Finden. Da es ein quadratischer Term ist hilft einfach pq-Formel.

Dann prüfst du diese Nullstellen durch einsetzen in das Zählerpolinom. Kommt Null heraus hast du eine Definitionslücke. Kommt etwas ungleich null heraus ist es eine Polstelle.

Man braucht nicht ableiten. Das würde man erst für Extrempunkte machen aber auch erst nach einer stetigen Ergänzung, also nachdem du die gemeinsame Nullstelle im Zähler und Nenner gekürzt hast.

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ah okax, darunter kann ich mir was vorstellen, danke

Answer 2

f(x)= (x²-x-6)/(x²+5x+6)

= ((x - 3)(x+2)) / ((x+2)(x+3))          | für x ≠ - 2

= (x-3)/(x+3) , x≠2

Habe etwas andere Begriffe: 

Definitionslücken und Unstetigkeitsstellen sind x=-2 und x= -3 .

x= -3 ist ein Polstelle,  

 
x = -2 ist eine stetig hebbare Definitionslücke. (gibt nur ein Loch im Graphen, das du im Plotter gar nicht siehst)  

~plot~ (x^2-x-6)/(x^2+5x+6); x=-3;x=-2;[[-6|6|-20|20]] ~plot~

Comments

WORAN ERKENNE ICH DAS SIE STETIG IST?

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Eigentlich, daran, dass du den Graphen zeichnen kannst, ohne abzusetzen. (Schulmathematik macht da kein allzugrosses Thema draus)

Ein paar Dinge musst du wissen, wenn du keine Beweise machen sollst.:

1. lineare Funktionen sind stetig.

2. Polynomfunktionen sind stetig.

3. Wenn eine Nenner vorhanden ist, musst du schauen, ob der nicht Null sein kann. 

4. Bei allen Funktionen, die ihr behandelt habt, hast du Graphen gesehen und gezeichnet. Du weisst also, dass du beim Graphen von f(x) = sin(x) nicht absetzen musst. 

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also polynomfunktion sind ab x^2 dann?

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Polynome oder ganzrationale Funktionen

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom

Du hast auch Wikipedia oder?

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ja alles klar. ganz rationale fkt kann ich was mit anfangen