Echt gebrochenrationale Polynomfunktion - hebbare Unstetigkeitsstellen

Question

Ich habe Probleme mit Funktionen und komme mit der Aufgabe nicht klar:

Gegeben ist die echt gebrochenrationale Polynomfunktion:

$$ f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 10x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16} $$

a) Ermitteln Sie hebbare Unstetigkeitsstellen und die daraus folgende neue Funktion g(x).

b) Ermitteln Sie die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen von g(x).

Wie rechnet man die hebbare Unstetigkeit?

Answer 1

x^3 + x^2 - 10* x + 8
---------------------------
x^4 - 8x^2 + 16

Eine Faktorisierung über Polynomdivision ergibt

( x + 4 ) ( x -1 ) ( x -2 )
------------------------------------
( x +2 ) ( x + 2 ) ( x -2 ) ( x -2 )

kürzbar ist ( x - 2 )

( x + 4 ) ( x -1 )
----------------------------
( x +2 ) ( x + 2 ) ( x -2 )

Polstellen ( Nenner = 0 ) sind
x = 2 und x = -2

Hebbar ist hier nichts.
Ich verstehe die Frage also nicht.

Comments

so geht es mir leider auch....aber vielen Lieben Dank für deine Hilfe! Vor allem für die kurzen und ausführlichen Schritte

Answer 2

Hi,

am besten fängst Du mit dem Nenner an. Da kann man direkt die zweite binomische Formel erkennen:

x^4-8x^2+16 = (x^2-4)^2

Darin ist dann nochmal die dritte binomische Formel versteckt.

((x-2)(x+2))^2

(Alternativ kannst Du auch x^2 = u substitieren und aufs gleiche kommen).

Du hast dann die vier Nullstellen des Nenners: x_(1,2) = -2 und x_(3,4) = 2

Nun hat der Zähler wohl eine dieser Nullstellen. x_(5) = 2 wäre eine Nullstelle des Zählers.

Polynomdivision:

(x^3+x^2-10x+8)/(x-2) = x^2+3x-4

Dann noch pq-Formel:

x_(6) = 1

x_(7) = -4

Zusammenfassung: Wir haben eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei x = 2, denn hier sind Zähler- und Nennernullstelle identisch. Weiterhin ist x = 2 aber eine Polstelle, wie auch x = -2 eine Polstelle ist. Die Nullstellen sind x = 1 und x = -4.

g(x) = (x^2+3x-4)/((x-2)(x+2)^2)

Alles klar?

Grüße

Comments

> Wir haben eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei x = 2

Stetig hebbar wäre diese nur dann, wenn sich der zugehörige Linearfaktor x-2 im Nenner vollständig wegkürzen ließe.

Wünsche dir alles Gute im neuen Jahr!

Nachtrag:

Allerdings handelt es sich bei x = 2 gar nicht um eine "Unstetigkeitsstelle", sondern um eine Definitionslücke, und die ist natürlich durch eine "Zusatzdefinition" f(2) = a∈ℝ immer behebbar. Hier ist sie lediglich nicht stetig behebbar.