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Ich soll beweisen, dass der Winkel in P (rot gekennzeichnet)  = 2 (g,h) , also zwei mal Allpha ist. Schon durch das ausmessen, lässt sich erkennen dass der gesuchte Winkel nicht zwei mal Alpha ist.

Aber beweisen kann ich es nicht und wäre daher über Hilfe sehr dankbar.Bild Mathematik

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Wenn du zeigen sollst das es so ist, kann man meist davon ausgehen das es stimmt.

Wenn es gezeichnet nicht stimmt, dann ist das ein zeichnen, dass die Skizze eventuell fehlerhaft ist.

Da die Zeichnung einer Vorlesungsfolie entstammt und auch bei meiner eigenen Skizze der Winkel nicht 2Alpha entspricht bin ich davon ausgegangen.

Würde er jedoch 2 Alpha entsprechen wüsste ich auch hier nicht wie ich dieses beweisen sollte.

Wenn du zeigen sollst das es so ist, kann man meist davon ausgehen das es stimmt.
Oder dass etwas ganz Anderes gezeigt werden soll.

... dass die Skizze eventuell fehlerhaft ist.
Die Skizze ist perfekt.


Der mit α bezeichnete grüne Winkel sei α.
Dann ist der rote mit 2α bezeichnete Winkel 2α.
Und der rote mit ? bezeichnete Winkel ist 180°-2α.

@Gast hj2166 vielen Dank für die Antwort.

Jedoch verstehe ich nicht wie du darauf gekommen bist. Wärst du so nett und würdest du mir deinen Lösungsweg erklären?

1 Antwort

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Beste Antwort

Das der rote Winkel bei \(P\) in der Skizze oben \(=\pi-2\alpha\) ist, hatte ich auch schnell gemerkt; aber es auch zu beweisen war dann doch schwieriger ... man sehe sich folgende Skizze an:

Bild Mathematik

Der grüne Winkel \(PSA\) bei \(S\) sei \(\varphi\) und der blaue Winkel bei \(S\) ist das \(\alpha\) aus der Aufgabenstellung. Da das Dreieck \(SMB\) rechtwinklig ist mit dem Winkel \(\varphi\) bei \(S\), taucht \(\varphi\) auch im Punkt \(M\) auf, da die schwarze Gerade durch \(M\)  die Orthogonale auf \(h\) ist. Demnach ist auch der Scheitelwinkel \(PMA=\varphi\) und da die Gerade durch \(MT\) das Spiegelbild von der Geraden durch \(PR\) ist, ist auch der Winkel \(AMT=\varphi\). \(A\) sei der Schnittpunktpunkt der Orthogonalen zu \(h\) mit \(g\). \(P'\) ist das Spiegelbild von \(P\) an \(g\) und da der Winkel \(PMP'=2 \varphi\) gleich dem Winkel \(PSP'=2\varphi\) ist, müssen die Punkte \(S\), \(M\), \(P\) und \(P'\) auf einem Kreis liegen. Auf Grund der Symmetrie liegt der Durchmesser auf der Geraden durch \(SA\). Und weil \(AMS\) ein rechter Winkel ist, liegt auch \(A\) auf diesem (Thales)Kreis.

Jetzt kann man mit Hilfe der Peripheriewinkel zeigen, dass alle Winkel gleicher Farbe auch gleich groß sind. \(\varphi\) findet man auch im Punkt \(P\) über den Vergleich der Winkel \(ASP'\) und \(APP'\). Den roten Winkel \(\alpha-\varphi\) findet man ebenso bei \(P\) bzw. \(P'\) über den Vergleich von \(MSP\) und \(MP'P\). Der hellblaue Winkel \(SAM\) bei \(A\) ist \(\pi/2-\alpha\), da das Dreieck \(SMA\) ein rechtwinkliges ist. Diesen Winkel findet man wieder bei \(SPM\). Und da der Winkel \(APS\) ein rechter ist, so ist der blaue Winkel bei \(P\)

$$\pi - (\frac{\pi}{2}-\alpha) - \frac{\pi}{2}=\alpha$$

und ein blauer \(\alpha\) ein grüner \(\varphi\) und eine roter \(\alpha-\varphi\) ergeben zusammen

$$\alpha + \varphi + \alpha - \varphi = 2 \alpha$$

Gruß Werner

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