Fragen bezüglich zum Konvergenzradius

Question

ich habe ein paar Fragen bezüglich zum Konvergenzradius. Dabei nehme ich Beispiel-Potenzreihen aus der Community.

Die erste Reihe lautet: $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -1 \right)  }^{ k } }{ { c }^{ 2k } }  } { x }^{ k }$$

c2 ist hier der Konvergenzradius. Müssen wir hier noch auf Radpunkte überprüfen

Die zweitem  Reihe lautet: $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( x-1 \right)  }^{ n } }{ n }  }$$

harmonische Reihe→divergenz, also r=∞?

Answer 1

c^2 ist hier der Konvergenzradius. Müssen wir hier noch auf Radpunkte überprüfen

Ja, die Randpunkte musst du noch extra überprüfen.

harmonische Reihe→divergenz, also r=∞?

Bei dieser Reihe handelt es sich nicht um die harmonische Reihe, weil im Zähler noch (x-1)^n steht. Berechne den Konvergenz Radius, z.B mit

 r=lim n −>∞ |a_n/a_n+1 |,

wobei a_n = 1/n. Gibt somit 1 als Konvergenzradius. Auch hier müssen die Randpunkte überprüft werden. Erst dann kommt die harmonische Reihe ins Spiel.