Es wird etwas länger aber ich hoffe, dass dir das dennoch hilft:
Idee 1: Substitution
$$ \int { \frac { 1 }{ 2{ e }^{ x }+3 } dx=> } \int { \frac { 1 }{ 2u+3 } } \frac { du }{ u } =>\int { \frac { 1 }{ (u)(2u+3) } du } $$
Idee 2: Partialbruchzerlegung
$$ \frac { 1 }{ (u)(2u+3) } =>\frac { A }{ u } +\frac { B }{ 2u+3 } =>\frac { (2A+B)u+3A }{ (u)(2u+3) } $$
Daraus ergibt sich ein LGS
$$ \begin{pmatrix} 2A & B \\ 3A & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad A=\frac { 1 }{ 3 } ,\quad B=-\frac { 2 }{ 3 } $$
$$ \int { \left( \frac { 1 }{ 3u } -\frac { 2 }{ 3(2u+3) } \right) } du $$
$$ \frac { 1 }{ 3 } \int { \left( \frac { 1 }{ u } \right) } du\quad -\frac { 2 }{ 3 } \int { \left( \frac { 1 }{ 2u+3 } \right) } du $$
das ist ein Standardintegral und es ist auch angenehm lösbar!