Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

8. 162 , Alfgabe \( 8 \mathrm{c} \) :
\( \int \limits_{0}^{1} x^{2} \cdot e^{x^{3}+1} d x ; g(x)=x^{3}+1 \)
(1) \( z=x^{3}+1 \) substitution
(2)
\( \frac{d z(x)}{d x}=3 x^{2} \)
\( d x=\frac{d z}{3 x^{2}} \) Differenziale Schreibueise
(3)
\( \begin{array}{l} \int x^{z} \cdot e^{z} \cdot \frac{d z}{3 x^{2}}=\frac{1}{3} \int e^{z} d z \\ =\frac{1}{3} \cdot e^{x^{3}+1} \text { Requbtitumin } \end{array} \)
(4)
\( \begin{array}{l} F(1)=\frac{1}{3} \cdot e^{1^{3}+1}=2,463 \\ F(0)=\frac{1}{3} \cdot e^{0^{3}+1}=0,906093 \\ F(2)-F(0)=1,55692 \end{array} \)

Text erkannt:

8. 162, Alifgabe 8b: \( \int \limits_{-1}^{1} \frac{-2 x}{\left(4-3 x^{2}\right)^{2}} d x ; g(x)=4-3 x^{2} \)
(1) \( z=4-3 x^{2} \) 8ubstitution
(2) \( \frac{d z(x)}{d x}=-6 x \quad a x=\frac{a z}{-6 x} \quad \) Differenziale senreibuveise
(3) \( \int \frac{-2 \pi}{(z)^{2}} \cdot\left(\frac{d z}{-\operatorname{sen}}\right)=\int \frac{1}{(z)^{2}} \cdot \frac{a z}{-z} \) \( =z^{-2} d z=-z^{-1}=-\frac{1}{z} \)
\( =\frac{-1}{4-3 x^{2}} \) Resubtitution
(4)
\( \begin{array}{l} F(1)=\frac{-1}{4-3 \cdot 1^{2}}=-1 \\ F(-1)=\frac{-1}{4-3 \cdot\left(1^{2}\right)}=-1 \\ F(2)-F(0)=0 \end{array} \)

Kann mir jemand diese zwei Aufgaben korrigieren?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Am besten wandelst du den Integranden zunächst so um, dass die Ableitung der Substitution als Faktor auftaucht:

$$I=\int\limits_0^1x^2e^{\pink{x^3+1}}dx$$Wir wollen den pinken Term \(\pink{x^3+1}\) substituieren. Seine Ableitung ist \(\pink{3x^2}\), daher forme das Integral zuerst so um:$$I=\frac13\int\limits_0^13x^2\cdot e^{\pink{x^3+1}}dx$$Die Substituion ist nun:$$u\coloneqq x^3+1\quad;\quad\frac{du}{dx}=3x^2\implies du=3x^2\,dx\quad;\quad u(0)=1\;;\;u(1)=2$$$$I=\frac13\int\limits_1^2e^u\,du=\frac13\left[e^u\right]_1^2=\frac{e^2-e}{3}\approx1,5569$$

zu b) Beim nächsten Integral$$I=\int\limits_{-1}^1\frac{-2x}{(\pink{4-3x^2})^2}\,dx$$ist die Ableitung der pinken Substitution \(\pink{4-3x^2}\) gleich \(\pink{-6x}\). Daher formen wir zuerst um:$$I=\frac13\int\limits_{-1}^1\frac{-6x}{(\pink{4-3x^2})^2}\,dx$$Die Substitution ist nun:$$u\coloneqq4-3x^2\quad;\quad\frac{du}{dx}=-6x\implies du=-6x\,dx\quad;\quad u(-1)=1\;;\;u(1)=1$$$$I=\frac13\int\limits_1^1\frac{1}{u^2}\,du=0$$Das Integral ist gleich \(0\), weil untere und obere Integrationsgrenze gleich sind.

Comments

Vielen Dank! Es hat mir sehr viel weiter geholfen!

Answer 2

1) Wie wäre es, wenn du deine erhaltenen Stammfunktionen einfach ableitest und nachsiehst, ob da tatsächlich f(x) herauskommt?

2) Zur Kontrolle kannst du dir das Integral mit Lösungsweg auf www.integralrechner.de anzeigen lassen.

Comments

Ich komme trotzdem nicht weiter :(

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Wobei?

Kommt beim Ableiten deiner Stammfunktion die Funktion raus oder nicht?

Oder kannst du die Internetadresse nicht eintippen?

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Es wird eine sehr komische Lösung angezeigt

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So etwas:

Text erkannt:

Die Aufgabe ist gelöst:
\( \begin{array}{c} \int x^{2} \mathrm{e}^{x^{4}} \mathrm{~d} x \\ =-\frac{\Gamma\left(\frac{3}{4},-x^{4}\right)}{4(-1)^{\frac{3}{4}}}+C \end{array} \)

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Tja, wenn man nicht ordentlich schreibt: \(\mathrm{e}^{x^3+1}\) ist eben etwas anderes als \(\mathrm{e}^{x^{3+1}}=\mathrm{e}^{x^4}\).