Zeigen Sie, dass mit der Substitution t=√{x+1} , also x=t^{2}-1 , das obige Integral auf die Form gebracht werden kann

Question

Aufgabe:

(a) Seien \( p(y, z) \) und \( q(y, z) \) Polynome in den Variablen \( y, z \) mit reellen Koeffizienten, und sei \( r(y, z):=\frac{p(y, z)}{q(y, z)} \). Wir betrachten das Integral

\( \int r(x, \sqrt{x+1}) \mathrm{d} x \)
Zeigen Sie, dass mit der Substitution \( t=\sqrt{x+1} \), also \( x=t^{2}-1 \), das obige Integral auf die Form
\( \left.\int R(t) \mathrm{d} t\right|_{t=\sqrt{x+1}} \)
gebracht werden kann, wobei \( R \) eine geeignete rationale Funktion ist.
(b) Berechnen Sie das Integral
$$ \int x^{2} \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x .$$

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich versucht das einmal einzusetzen und zu substituieren, wie es da steht. Allerdings habe ich dann das da stehen

\( \int \frac{p(t^{2}-1, t)}{q(t^{2}-1,t)}2tdt \)

bei bei b würde ich partiell interessieren und die Wurzel dann substituieren mit der Substitution die in a) gegeben ist. Wäre das ein richtiger Ansatz?

Answer 1

\( \int \underbrace{\frac{p(t^{2}-1, t)}{q(t^{2}-1,t)}2t}_{=R(t)}dt \)

Also alles schick, denn das ist eine rationale Funktion in \(t\).

Bei b) kannst du die Substitution direkt durchführen, da die rationale Funktion aus Teil (a) als Spezialfall im Nenner auch die Funktion \(q(y,z)=1\) haben kann:

$$\int x^2\sqrt{x+1}dx = \left. \int (t^2-1)^2\cdot t \cdot 2t\; dt\right|_{t=\sqrt{x+1}} $$$$ =\left. \frac{2 t^3}{3}-\frac{4 t^5}{5} + \frac{2 t^7}{7}\right|_{t=\sqrt{x+1}} + C$$

Jetzt noch viel Spaß beim Rücksubstituieren.