Question

Bestimmen Sie alle stationären Stellen der Funktion

f(x,y)=4y+2x-8,

unter der Nebenbedingung: 2y²+2x² = 2  mit x > 0, y > 0

mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens.

Eine stationäre Stelle liegt bei:  x= √1/5, y= 2√1/5, λ= -(√ 5)/2


Mein Lösungsansatz ist:

L(x,y, λ) = 4y+2x-8 + λ (2y²+2x² -2)
Lx' (x,y, λ) = 2 + λ
Ly' (x,y, λ) = 4 + λ

Lλ' (x,y, λ) = 2y²+2x² -2

Nur jetzt komme ich nicht mehr weiter, mein Mathe ist doch noch etwas eingerostet, wie ziehe ich da jetzt die stationären Stellen raus ? :)

Answer 1

Hallo Zahlenjongleur,

L(x,y, λ) = 4y+2x-8 + λ (2y²+2x² -2)

Die partiellen Ableitungen schreibt man ohne ' :

L_x (x,y, λ)  = 2 + λ * 4x

L_y (x,y, λ)  = 4 + λ * 4y

L_λ (x,y, λ) = 2y² + 2x² - 2

An den stationären Stellen müssen alle partiellen Ableitungen 0 ergeben:

2 + λ * 4x = 0   ∧    4 + λ * 4y = 0    ∧    2y² + 2x² - 2 = 0

Lösungen des Gleichungssystems:  

Du kannst G1 und G2 nach x bzw. y auflösen - also durch λ ausdrücken - und beides dann in G3 einsetzen. Dann erhältst du λ und kannst danach x und y besimmen.

Kontrolllösungen:

x = - √5/5  ∧  y = - 2·√5/5  ∧  λ = √5/2        oder       x = √5/5  ∧  y = 2·√5/5  ∧  λ = - √5/2   

              [ √5/5 = √5 / √25 = √(5/25) = √(1/5) = 1/√5 ] 

Die stationären  Stellen  sind  ( -1/√5 | - 2/√5 )    und   ( 1/√5 |  2/√5 )

          [ λ  hat mit deren Angabe nichts zu tun ] 

Gruß Wolfgang  

Comments

vielen Dank.

Kannst du mir noch sagen wie ich  λ erhalte ?

Du hast geschrieben:
"du kannst G1 und G2 nach x bzw. y auflösen - also durch λ ausdrücken - und beides dann in G3 einsetzen. Dann erhältst du λ und kannst danach x und y besimmen."

Ist dann dieser Ansatz schonmal richtig ?

 G1 = λ * 4x = -2
 G2 = λ * 4y = -4

Und dann y und x in G3 einsetzen ? Mmh, so ganz habe ich den Lösungsweg noch nicht verstanden.

 G3 = 2y²+2x² - 2 ?

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 G1 = λ * 4x = -2   →    x  =  - 1 / (2λ) 
 G2 = λ * 4y = -4   →    y  =  - 1 / λ

x und y in G3 einsetzen:
2y²+2x² - 2  = 0

2 * (1/(4λ²) )  + 2 * (1/λ²) = 2  

1 / (2λ²) + 2 / λ² = 2    | * 2λ²

1 + 4   = 4 λ²

λ² =  5/4 

λ = ± √5 / 2    →  x , y  

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  x  =  - 1 / (2 * -(√5 / 2) )  --->  x = √5/5
  y  =   -1 / -( √5 / 2 )  --->   y = 2·√5/5

  x  =  - 1 / (2 * √5 / 2 ) ---> x = - √5/5
  y  =   -1 / ( √5 / 2 )  --->   y = - (2·√5/5)

Ok danke, dann habe ich jetzt auch noch hoffentlich richtig y und x bestimmt ;)

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Korrekt

Und:

immer wieder gern :-)

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Und wo setze ich x und y dann ein, wie geht es dann weiter ?

Ich bin doch noch nicht ganz fertig oder?

Ich habe das Thema erst seit gestern und komme ganz schön ins schwitzen ;)

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Da du nur die  stationären Stellen  bestimmen solltest,  bist du fertig.

Von Extrem- und Sattelpunkten ist ja in der Aufgabenstellung keine Rede.

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Ok, danke, jetzt sehe ich es auch.

Dann wünsche ich dir noch einen schönen Abend/Nacht !

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Wünsche ich dir auch!