Ein Ingenieur hat die Aufgabe bekommen eine neue Dose für polynesische Kokosnussmilch zu designen. Die Dose soll zylinderförmig sein und ein Volumen von 400ml haben. Für den Mantel verbraucht man 5g/cm2, für den Boden und Deckel 8g/cm2 an Metall. Welche Höhe und welchen Radius (in cm) hat die Dose, die den Metallverbrauch minimiert? Nutzen Sie das Lagrange-Verfahren!
Hier mal recht allgemein.
Nebenbedingung
V = pi·r^2·h --> h = V/(pi·r^2)
Hauptbedingung
M = 5·2·pi·r^2 + 8·2·pi·r·h
M = 5·2·pi·r^2 + 8·2·pi·r·(V/(pi·r^2))
M = 10·pi·r^2 + 16·V/r
M' = 20·pi·r - 16·V/r^2 = 0 → r = (4·V/(5·pi))^(1/3)
h = V/(pi·((4·V/(5·pi))^(1/3))^2) = (25·V/(16·pi))^(1/3)