Question

Bestimmen Sie die unbekannten Parameter a,b,c ∈ R der Exponentialfunktion  f ( x ) = ( ax + b ) · e^{cx} ,

die durch die Punkte f ( − 2) = 0,  f (0) = 1 verläuft und im Punkt P (0 / 1) ein Extremum besitzt.
(Lösung: a = 1/2 , b = 1, c = − 1/2)


Hier mein Lösungsversuch:

X₁=-2  Y₁=0
X₂=0  Y₂=1

X₂=0  Y₂=1 in f ( x ) eingesetzt:

1 = ( a·(0) + b ) · e^{c·0}--> 1=b · 1 ---> b=1

f ( x ) = (ax + 1) · e^{cx}

dann:
X₁=-2  Y₁=0 in f ( x ) eingesetzt:

0 = ( a·(-2) + 1 ) · e^{c·(-2)} -->  0 = ( -2a + 1 ) · e^{-2c}   | : (e^{-2c}) ---> 0 =  -2a + 1 | -1  --->  -1 = -2a | : -2 --->  1/2 = a

f ( x ) = ( 1/2x + 1) · e^{cx} ,

dann nochmal:
X₁=-2  Y₁=0 in f ( x ) eingesetzt
0 = ( 1/2 · (-2) + 1) · e^{c(-2)} , ---> 0=-1 e^{-2c}

Und wie bekomme ich jetzt c raus ?


Vielen Dank schonmal !

Answer 1

  f ( x ) = ( ax + b ) · e^cx, 

die durch die Punkte f ( − 2) = 0,  f (0) = 1 verläuft und im Punkt P (0 / 1) ein Extremum besitzt. 

f(-2) = 0

f(-2) = (a(-2) + b) * e^{-2c} = 0

==> -2a + b = 0

==> b = 2a

f(0) = 1.

1 = b * e^{0} = b

Also b=1 und a = 1/2.

Nun noch ausnützen, dass f im Punkt P (0 / 1) ein Extremum besitzt. 

 f ( x ) = ( 1/2 x + 1 ) · e^cx,

f '(x) = 1/2 * e^cx + (1/2 x + 1)* c*e^cx

f'(0) = 0= 1/2 * 1 + 1*c*1 

-1/2 = c 

f(x) = (1/2 x +1) * e^{-1/2 x} 

(ohne Gewähr!) Selber nachrechnen. 

Comments

Ok danke, ich rechne das mal nach :)

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Nr. 1 ist besser.

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F2+x+%2B1)+*+e%5E(-1%2F2+x) 

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Danke, also einmal ableiten, habe ich verstanden !

Wenn man kein Extrema wüsste, könnte man doch (y =-1 e^-2c) wahrscheinlich auch noch mit ln umstellen um c zu bekommen, aber das würde dann wohl sehr umständlich sein, oder? ;)

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Gäbe es eigentlich theoretisch hier noch eine Möglichkeit die Gleichung 0 = - e^{-2c} nach c umzustellen ?

Also dass man c ermittlelt ? Würde das überhaupt funktionieren ?

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> Gäbe es eigentlich theoretisch hier noch eine Möglichkeit die Gleichung  0 = - e^-2c  nach c umzustellen ?  

Wegen e^-2c ≠ 0    ( e^irgentetwas ≠ 0 ! )

gibt es ein solches c nicht.

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Danke, ja das kam mir gleich Spanisch vor.