Nimm doch die Regel von d'Hospital.
Du hast einen Grenzwert vom Typ 0/0 , also Regel anwendbar.
Gibt
$$ \frac { (e^{4x}-1)+x*4(e^{4x}) }{ \frac { 2x }{ 1+x^2 } }$$
$$ = \frac { (e^{4x}-1+x*4e^{4x})*(1+x^2) }{ 2x }$$
immer noch Typ 0/0 , also nochmal d'Hospital
$$ = \frac { (4e^{4x}+1*4e^{4x}+x*16e^{4x})*(1+x^2) + (e^{4x}-1+x*4e^{4x})*2x }{ 2 }$$
Nun passt es: Grenzwert ist 4.