Kombinatorik Wörter würfeln "GUT"

Question

Ich komme bei diesen Aufgaben gerade nicht weiter bzw. weiss nicht, ob meine Resultate stimmen.

Ein Affe würfelt mit einem (perfekten) Würfel, dessen sechs Seiten mit den Buchstaben 'G', 'G', 'U', 'U', 'T', 'T' beschriftetsind, und ein begeisterter Tierliebhaber notiert die gewürfelten Buchstaben.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefern die ersten drei Würfe das Wort ,G U T'?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Wort 'GUT' in den ersten fünf Würfen auf?

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Wort'GUT' in den ersten sechs Würfen auf?

Zu a:

Total gibt es ja 6*5*4=120 Möglichkeiten Wörter mit 3 Buchstaben zu bilden. Da jeder Buchstabe doppelt vorkommt gibt es schlussendlich 60 verschiedene mögliche Wörter und somit ist 1 von 60 das Wort GUT. p('GUT')=1/60

Zu b:

Jetzt bildet man Wörter mit 5 Buchstaben. Also gibt es 6*5*4*3*2=720 Möglichkeiten Wörter zu bilden.

Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Wie kann ich bestimmen ob GUT nun in der richtigen

Reihenfolge ist? Bzw. wie lässt sich dieses Problem lösen?

Zu c: Gleiches Problem wie bei b.

Herzlichen Dank!

Answer 1

Ein Affe würfelt mit einem (perfekten) Würfel, dessen sechs Seiten mit den Buchstaben 'G', 'G', 'U', 'U', 'T', 'T' beschriftetsind, und ein begeisterter Tierliebhaber notiert die gewürfelten Buchstaben.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefern die ersten drei Würfe das Wort ,G U T'?

P(Wort "GUT" ) = P(G)*P(U)*P(T) = 1/3 * 1/3 * 1/3  = 1/27

Es verschwinden keine Buchstaben vom Würfel. Und wenn die ersten drei Würfe das Wort GUT liefern, soll das genau in dieser Reihenfolge gewürfelt werden.

Sonst könnte man fragen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man mit den ersten 3 gewürfelten Buchstaben das Wort GUT bilden ?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Wort 'GUT' in den ersten fünf Würfen auf?

P("GUT" in den ersten fünf Würfen)       | Die folgenden Ereignisse schliessen einander aus. Daher:

= P(GUT am Anfang) + P(GUT in Mitte) + P(GUT am Schluss)      | 1 (wenn egal)

= 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1 *1 + 1 * 1/3 * 1/3 *1/3 *1 + 1*1*1/3 * 1/3 * 1/3

= 3 * 1/27 = 1/9 

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Wort'GUT' in den ersten sechs Würfen auf?

P("GUT" in den ersten sechs Würfen)       | Ereigniss1 und 4 schliessen einander nicht aus.

= P(GUT am Anfang) + P(GUT in Mitte) + P(GUT in Mitte2) + P(GUT am Schluss) - P(GUT zwei mal)

= 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1 *1*1 + 1 * 1/3 * 1/3 *1/3 *1*1 + 1*1*1/3 * 1/3 * 1/3*1 + 1*1*1* 1/3 * 1/3 * 1/3 - 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3

= 4 * 1/27  - 1/27^2 = 107/729

Zahlen ohne Gewähr. Bitte selber nachrechnen.