Berechnung der Koordinaten eines Vektors

Question

Wie berechnet man die Koordinaten des Vektors der durch die Linearkombination gegeben ist.

( 2         (  1                  ( 1

  1     +     4    +  2  ×      1

  3 )         -5)                   4 )

Und wie überprüft man ob das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist ?

A ( 2|1|4)

B (3|3|7)

C (2|5|8)

D (1|3|5)

Vielen Dank !!!

Answer 1

Über deine erste Frage:

Es gilt dass $$\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{pmatrix}$$ und $$\lambda \cdot \begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda \cdot c_1\\ \lambda \cdot c_2\\ \lambda \cdot c_3\end{pmatrix}$$

Über deine zweite Frage:

Bei einem Parallelogramm sind die Seiten gegenüber jeweils gleich lang. Wir müssen also überprüfen ob die Strecken AD und BC gleich lang sind und ob die Strecken AB und DC gleich lang sind.

Comments

Wie geht man dabei vor ob AD und BC Gleichlang sind ?

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Der Vektor AB verbindet A und B. Die Koordinaten des Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Wir haben dass A(2 | 1 | 4) und B(3 | 3 | 7). Die Koordinaten des Verbindungsvektors berechnen sich dann wie folgt: $$\vec{AB}=\left(3-2 \mid 3-1 \mid 7-4\right)=\left(1\mid 2\mid 3\right)$$ 

Um die Länge eines Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen Betrag. Die Formel lautet: $$\text{ Wenn } \vec{a}=\left(a_1 \mid a_2\mid a_3\right) \ \text{ dann } \ |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$  

Answer 2

AB = B - A = [3,3,7] - [2,1,4] = [1,2,3]

DC = C - D = [2,5,8] - [1,3,5] = [1,2,3]

AD = D - A = [1,3,5] - [2,1,4] = [-1,2,1]

AB = DC ≠ k * AD

Damit sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und es ist ausgeschlossen, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen.

Comments

Zum Schluss habe ich BC gemacht. Es kam das gleiche wie bei AD raus also ist es ein Paralellogramm oder?

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Ja. Es ist ein Parallelogramm. Du kannst ja mal überlegen warum ich nicht mehr BC überprüft habe, bzw. woher ich wusste das BC = AD sein muss.