Koordinaten eines Vektors bestimmen im Vektorraum C

Question

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Gegeben: Vektorraum \( \mathbb{C}^{2} \) über \( \mathbb{C} \) mit Standardbasis \( E:(1,0)^{\top},(0,1)^{\top} \) und den Basen \( B:\left(\begin{array}{c}6 i \\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7 \\ -7 i\end{array}\right) \) und \( C:\left(\begin{array}{l}i \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3 i\end{array}\right) \).
Bestimme diekoordinaten des vektors \( { }_{B} v=(6 i, 5)^{\top} \) bezüglich E und \( C \).

Hallo:)

Wie löse ich diese Aufgabe? Ich komme nicht voran

Danke !

Answer 1

Wenn ( a,b ) die Koordinaten von \( \left(\begin{array}{c}6 i \\ 5\end{array}\right) \) bzgl. E sind, dann muss ja gelten

\( \left(\begin{array}{c}6 i \\ 5\end{array}\right) = a\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right) +b\cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right)  \)

also a=6i und b=5, die Koo. also ( 6i ; 5).

Bzgl. C muss man etwas rechnen:

\( \left(\begin{array}{c}6 i \\ 5\end{array}\right) = a\cdot \left(\begin{array}{c}i \\ 2\end{array}\right) +b\cdot \left(\begin{array}{c}-2 \\ 3i\end{array}\right)  \)

gibt das Gleichungssystem 6i = ai - 2b
                                          5 = 2a + 3ib

also a=-8 und b=-7i