Wachstum des Radius eines Kegels...

Question

Von einem Förderband eines Kieswerks fallen pro Minute 2 Kubikmeter Sand über einem festen Punkt unterhalb des Bands. Es bildet sich ein Kegel, dessen Höhe h und Radius r gemäß dem Schuttwinkel von Sand (der ca. 30 Grad beträgt) die Gleichung h = 0,6 r erfüllen. Mit welcher Geschwindigkeit wächst r zu dem Zeitpunkt, an dem r = 3m? 

Jemand eine Idee, wie man da rangehen könnte? Ohne Integral bitte, wir haben gerade das Thema Differenzialrechnung.

!

Answer 1

Zunächst wäre der Zusammenhang zwischen Höhe und Volumen des Kegels entscheidend.

Das geht auch ohne Integralrechnung - kann man bestimmt in einer Formelsammlung finden.

Answer 2

Das Volumen eines Kegels ist 1/3 r² π h und hier gilt h = 0,6 r somit ist V = 1/5 r³ π

Wenn r = 3 m dann ist V = 16,9646 m³ was nach 8,4823 Minuten der Fall ist, d.h. 8 Minuten und 29 Sekunden.

Die Geschwindigkeit des Radiuswachstums erhält man über die erste Ableitung der Funktion r(t).

Comments

Vielen Dank für Deine Hilfe!

Answer 3

Volumenformel aufstellen

V = 1/3·pi·r^2·h

V = 1/3·pi·r^2·(0.6·r) = 1/5·pi·r^3

Nach r auflosen

r = (5·V/pi)^{1/3}

Wir nutzen die Info wie sich das Volumen ändert

V = 2·t

r = (5·2·t/pi)^{1/3}

r(t) = (10·t/pi)^{1/3}

Zu welchem Zeit punkt gilt 

r(t) = (10·t/pi)^{1/3} = 3 --> t = 2.7·pi

Nun Differenzieren

r'(t) = (10/(27·pi·t^2))^{1/3}

r'(2.7·pi) = (10/(27·pi·(2.7·pi)^2))^{1/3} = 10/(27·pi) = 0.1179 m/min