DIe generelle Form einer quadratischen Gleichung ist $$ax^2+bx+c=0$$ Um diese zu lösen kann man die Mitternachtsformel anwenden: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$ Die Gleichung hat zwei Lösungen wenn b2-4ac>0, eine Lösung wenn b2-4ac=0 und keine reelle Lösung wenn b2-4ac<0.
Wir müssen die gegebenen Gleichung erstmal in der Form ax2+bx+c=0 bringen.
$$a) \ \ x^2+\frac{3}{4}=2x+3 \Rightarrow x^2+\frac{3}{4}-2x-3 =0 \Rightarrow x^2-2x-\frac{9}{4} =0 \\ x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm \sqrt{4+9}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{13}}{2}$$ Die Lösungen sind also $$x_1=\frac{2- \sqrt{13}}{2}=1-\frac{\sqrt{13}}{2} \ \text{ und } \ x_2=\frac{2+ \sqrt{13}}{2}=1+\frac{ \sqrt{13}}{2}$$
$$b) \ \ x^2+2x+1=9 \Rightarrow x^2+2x-8=0 \\ x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$ Die Lösungen sind also $$x_1=\frac{-2- 6}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \ \text{ und } \ x_2=\frac{-2+ 6}{2}=\frac{4}{2}=2$$
