Wahrscheinlichkeiten angeben Normalverteilung

Question

Nehmen Sie an, dass die Zufallsvariable X normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 48 und der Standardabweichung 8. 

Geben Sie die Lösung der folgenden Aufgaben jeweils als Wahrscheinlichkeit (zwischen 0 und 1) an und runden Sie kaufmännisch auf vier Nachkommastellen. 

1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 50 ist? 

2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 30 ist? 

3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 42 und gleichzeitig kleiner als 58 ist? 

Answer 1

P(X > 50) = 1 - P(X <= 50) = 1 - Φ((50 - 48)/8) = 0.4012936743

P(X < 30) = Φ((30 - 48)/8) = 0.01222447264

P(42 < X < 58) = Φ((58 - 48)/8) - Φ((42 - 48)/8) = 0.6677228739

Comments

wie genau kommt man da drauf ? 

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Was verstehst du daran denn genau nicht?

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Kann man das auch mit dem Taschenrechner lösen? 

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Das hängt von dem TR ab. Mit meinem https://www.amazon.de/dp/B00VB2ISDM funktioniert das recht gut.

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Genau den habe ich auch.. kannst du mir vielleicht sagen wie das genau funktioniert ? 

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a) [MENU] 7 2 50 1000 8 48 --> p = 0.4013

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Kann dieser Taschenrechner Funktionsgraphen plotten,ist der programmierbar oder kann der symbolisches Rechnen ?? 

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Nein. Das solltest du aber wissen, wenn du ihn hast ???

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Ja ich habe ihn war mir aber gerade nicht sicher.. schreibe morgen eine Klausur und ein Freund meinte gerade das der nicht zugelassen sei.. 

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Das kann gut sein das der nicht zugelassen ist. Das sollte man im Vorfeld eigentlich abklären und nicht erst wenn Klausur ist.

Wie gesagt er ist nicht Programmierbar, kann keine Graphen plotten und kann nicht symbolisch rechnen. 

Allerdings kann der gut numerisch Integrieren, Differenzieren und auch sonst ein paar nützliche stochastische Dinge berechnen.

Das nützt aber nichts wenn es einen Zettel gibt mit genehmigten Taschenrechnern und dieser noch nicht auf der Liste drauf steht.

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Ich bin mir sehr sicher das der erlaubt ist weil ich den auch letztes Semester in Mathe hatte, aber wurde gerade verwirrt... 

Erlaubt sind nur Taschenrechner die keinen Funktionsgraphen plotten können, nicht programmierbar sind und kein symbolisches Rechnen erlauben.. da der das ja nicht kann ist der erlaubt.. 

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Hey und wie berechne ich das Ganze ohne Taschenrechner?

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Die Werte der Standardnormalverteilung darf man auch in einer Tabelle ablesen. Dann kann man das sogar auch im Kopf berechnen.

Die Standardnormalverteilung kann muss man nur für spezielle Werte im Kopf können.

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Hm meine Tabelle geht aber nur von 4  nach Unten und bis 8 nach rechts

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Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie genau man darauf kommt?

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Wobei hast du genau ein Problem?

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Wenn ich das ausrechne und in der Tabelle nachschaue, kommt bei mir etwas anderes heraus. Woran kann das liegen?

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Stell mal deine Rechnung online. Dann kann ich da besser helfen.

Vielleicht hast du beim Ausrechnen Fehler gemacht oder beim Nachschlagen in der Tabelle oder bei beidem.

Bekommst du etwas ganz anderes heraus oder liegt das in der Nähe?

Da ich mit dem Computer und den angenäherten Funktionen rechne ist das etwas genauer als die Tabellen.

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P(42 < X < 58) = Φ((58 - 48)/8) - Φ((42 - 48)/8) = 0.6677228739

Bei dem Beispiel rechne ich auch

Φ((58 - 48)/8) - Φ((42 - 48)/8)

Φ (1,25) - Φ (0,75)

0,8944 - 0,7734 = 0,121

Das kommt bei mir heraus, ich verstehe aber meinen Fehler nicht.

Wäre lieb, wenn du es mir erklären könntest.

Danke :)

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Φ((58 - 48)/8) - Φ((42 - 48)/8)

= Φ(1.25) - Φ(-0.75) <-- Hier war dein Fehler!

= Φ(1.25) - (1 - Φ(0.75))

= 0.8944 - (1 - 0.7734)

= 0.8944 - 1 + 0.7734

= 0.6678

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Vielen Dank!

Aber woher kommt die 1? Liegt das an der Aussage „zwischen 0 und 1“?

Dann verstehe ich auch meinen Rechenfehler

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In den Tabellen der Standardnormalverteilung kann man nicht immer Φ(-0.75) ablesen.

Es steht dort aber eigentlich immer dabei das gilt

Φ(-x) = 1 - Φ(x)

Schau mal auf deine Tabelle. Wenn du direkt negative Werte ablesen kannst ist das übrigens egal.