Funktion f(x) = √(7x) in xo > 0 mit der Definition der Ableitung differenzieren

Question

Kann mir bitte jemand helfen und diese Funktion differenzieren? 

Answer 1

Wir haben folgendes: $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\sqrt{7x}-\sqrt{7x_0}}{x-x_0} \\ =\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\left(\sqrt{7x}-\sqrt{7x_0}\right)\cdot \left(\sqrt{7x}+\sqrt{7x_0}\right)}{\left(x-x_0\right)\cdot \left(\sqrt{7x}+\sqrt{7x_0}\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\left(\sqrt{7x}\right)^2-\left(\sqrt{7x_0}\right)^2}{\left(x-x_0\right)\cdot \left(\sqrt{7x}+\sqrt{7x_0}\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{7x-7x_0}{\left(x-x_0\right)\cdot \left(\sqrt{7x}+\sqrt{7x_0}\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{7\cdot \left(x-x_0\right)}{\left(x-x_0\right)\cdot \left(\sqrt{7x}+\sqrt{7x_0}\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{7}{ \sqrt{7x}+\sqrt{7x_0}} \\ =\frac{7}{ \sqrt{7x_0}+\sqrt{7x_0}} \\ =\frac{7}{ 2\sqrt{7x_0}}$$

Answer 2

Ich schreibe b für x0:

[√(7x)-√(7b)]/(x-b)=√7·[√(x)-√(b)]/(x-b). Erweitern mit √(x)+√(b) wird dann nach 3. bin. Formel und Kürzen zu √7/(√x+√b) und das ist für b=x die Ableitung √7/(2√x).