Ableitung von f(x)= 1/(x-2) in x=-1 mit der Definition

Question

Folgende Funktion soll nach Definition abgeleitet werden.

f(x)= 1/(x-2) in x=-1

limΔx->0 f(-1+ Δx) - f(-1)/ ( Δx)

=( 1/( Δx-3) + 1/3)  / (Δx)

Ich komme leider nicht weiter.

Danke:)

Answer 1

$$ f(x)=\frac { 1 }{ x-2 } \\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac { f(x+\Delta x)-f(x) }{ \Delta x }\\=\lim_{\Delta x\to0}\frac { \frac { 1 }{ x+\Delta x-2 }-\frac { 1 }{ x-2 } }{ \Delta x }\\=\lim_{\Delta x\to0}\frac { \frac { (x-2) }{ (x+\Delta x-2)(x-2) }-\frac { (x+\Delta x-2) }{ (x-2)(x+\Delta x-2) } }{ \Delta x }\\=\lim_{\Delta x\to0}\frac { \frac { -\Delta x }{ (x+\Delta x-2)(x-2) } }{ \Delta x }\\=\lim_{\Delta x\to0} \frac { -1 }{ (x+\Delta x-2)(x-2) } \\=\frac { -1 }{ (x-2)^2 }\\f'(-1)=-\frac { 1 }{ 9 }$$