Definition des Grenzwertes

Question

Aufgabe:

Zeige mithilfe der Definition des Grenzwertes, dass

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{7n-2}{4n+3}=\frac74\)

gilt, das bedeutet, zeige: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N(ε) ∈ N, so dass für alle n ≥ N(ε)
$$\frac{7n-2}{4n+3}-\frac{7}{4} \lt ε$$
erfüllt ist.
Gebe ein derartiges N(ε) für ε ∈ {0.2, 10−3, 10−6} an.

Problem/Ansatz: Ich verstehe überhaupt nicht, was ich hier machen soll.

Comments

lim 7n − 2 = 7
n→∞ 4n + 3 4

Das ist nicht lesbar.

---

Soll vermutlich \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{7n-2}{4n+3}=\frac74\), bzw. \(\displaystyle\left\lvert\frac{7n-2}{4n+3}-\frac74\right\rvert<\varepsilon\)  heißen?

Answer 1

\(\displaystyle\left\lvert\frac{7n-2}{4n+3}-\frac74\right\rvert<\varepsilon\)

Dazu musst du nur ausrechnen wie groß n sein muss, damit das erfüllt ist

Also erst mal einen Bruch draus machen

$$    |\frac{-29}{16n+12} | < ε $$

Betrag berücksichtigen   $$ \frac{29}{16n+12} < ε $$

 <=>  29 < ε * ( 16n+12 )   | : ε

<=>  29 / ε  <   16n + 12

<=>  29 / ε      - 12 <  16n

<=>  ( 29 / ε      - 12 ) / 16  <  n

Also ist das N(ε ) immer die nächste ganze Zahl nach ( 29 / ε      - 12 ) / 16

ε ∈ {0.2, 10^(−3), 10^(−6) }

also etwa für 0,2 ist es N(0,2) = 9 ; denn ( 29 / 0,2      - 12 ) / 16 = 8,3125.

Für die anderen entsprechend.